PDF《复合求积公式》

1 复合求积公式 算法

2 本讲内容 ? 复合梯形公式 ? 复合 Simpson 公式 ? 复合求积公式 ? Romberg(龙贝格)算法 ? 梯形法的递推化计算 ? Romberg 算法基本思想: 外推技巧 ? Romberg 算法: 计算过程

3 复合求积公式 ? 提高积分计算精度的常用两种方法 ? 用复合公式 ? 用非等距节点 ? 将积分区间分割成多个小区间 ? 在每个小区间上使用低次 Newton-Cotes 求积公式 什么是复合求积公式 ? 复合求积公式 复合求积公式 (Composite Numerical Integration) 也称为复化求积公式

4 复合梯形公式 ? 将[a, b] 分成 n 个小区间 [xi , xi+1] ,其中

0 1

1 n n a x x x x b ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

0 ( ) d ( ) d i i n b x a x i f x x f x x ? ? ? ?

1 1 ( )

2 ( ) ( )

2 n n i i h f a f T x f b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

0

2 n i i i i h f x f x ? ? ? ? ? 通常是 n 等分 取等距节点

1 i i i h x x ? ? ? ( ) / h b a n ? ?

5 余项公式 [ ]

3 1

0 ( )

12 n i i i h R f f ? ? ? ? ? ''

1 2

2 0

1 ( ) ( )

12 12 n i i b a b a h f h f n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? '' ''

1 1 , ( , ) i i i i i i h x x x x ? ? ? ? ? ? [ ]

3 1

0 ( )

12 n i i h R f f ? ? ? ? ? '' ? 当xi 其中为等距节点时,即,ibaxaih h n ? ? ? ? ( , ) a b ? ?

6 复合 Simpson 公式

1 2

1 1

0 [ ( )

4 ( ) ( )]

6 n n i i i i h f x f x f x S ? ? ? ? ? ? ?

1 1

0 ( ) d ( ) d i i n b x a x i f x x f x x ? ? ? ?

1 2

1 1

0 1 ( )

4 ( )

2 ( ) ( )

6 n n i i i i h f a f x f x f b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 取等距节点 b a h n ? ? 注:复合 Simpson 公式实际使用了 2n+1 个节点

7 余项公式 [ ]

5 1 (4)

0 ( )

2880 n i i h R f f ? ? ? ? ?

4 (4) ( ) ( )

2880 b a h f ? ? ? ? ( , ) a b ? ?

4 1 (4)

0 ( )

1 ( )

2880 n i i b a h f n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 ( , ) i i i x x ? ? ? 性质:复合梯形公式和复合 Simpson 公式都是收敛的, 也都是稳定的.

8 举例 例:设 ,利用下表中的数据分别用复合梯形公式 和复合simpson公式计算定积分 ,并估计误差. sin ( ) x f x x ?

1 0 ( ) d f x x xi

0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1.0 f (xi )

1 0.997 0.990 0.977 0.954 0.936 0.909 0.877 0.841 解:

7 8

0 8

1 ( )

2 ( ) ( ) 0.9456909

2 T i i h T f x f x f x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4 0

1 3

5 7 ( )

4

6 S h S f x f x f x f x f x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

9460832 .

0 ) ( ) ( ) ( ) (

2 8

6 4

2 ? ? ? ? ? x f x f x f x f

9 举例 误差估计

2 3 [ ] ( ) 0.434

10 12 T T b a R f h f ? ? ? ? ? ? ? ''

1 0 sin ( ) cos( ) d x f x xt t x ? ? ?

1 1 ( )

0 0 d ( ) cos( ) d cos d d

2 k k k k k f x xt t t xt t x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 ( )

0 0

1 0

1 max ( ) max cos d

2 k k x x k f x t xt t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 0

1 d

1 k t t k ? ? ? ?

4 (4)

6 [ ] ( ) 0.271

10 2880 S S b a R f h f ? ? ? ? ? ? ?

10 举例 例:计算定积分 用复合梯形公式和复合simpson公式时,n 分别取多大时才能 使得误差不超过 0.5 ? 10-5

1 0 d x e x 解: ( ) x f x e ? ( )

0 1

0 1 max ( ) max k x x x f x e e ? ? ? ? ? ? 要使误差不超过 0.5 ? 10-5 ,需要

2 5

1 1

10 12

2 e n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 212.85 n ? 取n=213

2 2

1 [ ] ( )

12 12 T T b a e R f h f n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? '' 复合梯形公式

213 等分

11 举例 复合 simpson 公式

4 4 (4)

1 [ ] ( )

2880 2880 S S b a e R f h f n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 要使误差不超过 0.5 ? 10-5 ,需要 3.71 n ? 故取 n=4