PDF《复合求积公式》

4 5

1 1

10 2880

2 e n ? ? ? ? ? ? ? ? ?

8 等分

12 本讲内容 ? 复合梯形公式 ? 复合 Simpson 公式 ? 复合求积公式 ? Romberg(龙贝格)算法 ? 梯形法的递推化计算 ? Romberg 算法基本思想: 外推技巧 ? Romberg 算法: 计算过程

13 Romberg 算法 太大利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes 公式等计算定积分时,如何选取步长 h 计算精度难以保证 太小增加额外的计算量 解决办法:采用 变步长算法 通常采取将区间不断对分的方法,即取 n = 2k ,反复 使用复合求积公式,直到所得到的计算结果满足指 定的精度为止. xi +1/2 xi xi +1

14 梯形法递推公式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) (

2 ) (

2 ) ( ) (

2 1

1 1

0 1 b f x f a f h x f x f h T n i i n i i i n ? 步长折半:[xi , xi+1/2] , [xi +1/2 , xi+1] ? ? ? ?

1 2

1 2

1 2

1 0

4 n n i i i i i h T f x f x f x f x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

2 1

0 ( )

2 ( ) ( )

4 n i i i i h f x f x f x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

1 1

2 0

0

4 2 n n i i i i i h h f x f x f x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] , n a b h h i a xi ? ? ? ? ? ,

1 1

2 0

1 ( )

2 2 n n i i h T f x ? ? ? ? ? ?

15 梯形法递推公式

1 1

2 1

2 0

0 1

1 ( ) ( 0.5 )

2 2

2 2 n n n n i n i i h h T T f x T f a ih h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b a h n ? ? ? ?

1 ( ) ( )

2 b a T f a f b ? ? ?

0 0

2 1

0 0

0 1 ( 0.5 )

2 2 i h T T f a ih h ? ? ? ? ? ?

1 1

4 2

1 1

0 1 ( 0.5 )

2 2 i h T T f a ih h ? ? ? ? ? ?

3 2

8 4

2 2

0 1 ( 0.5 )

2 2 i h T T f a ih h ? ? ? ? ? ?

0 h b a ? ?

1 2 b a h ? ?

2 4 b a h ? ?

16 梯形法递推公式

1 1

2 1

1 1

1 2

2 0

1 ( 0.5 )

2 2 k k k k k k i h T T f a ih h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

2 k k b a h ? ? ? ?

1 2

1 ( ) ( 1)

1 1

1 0

1 ( 0.5 )

2 2 k k k k k k i h T T f a ih h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 记()2k k T T ?

1 1

2 k k b a h ? ? ? ?

17 举例 解: 例:用梯形法的递推公式计算定积分 , 要求 计算精度满足

1 0 sin( ) d x x x ? ? (0) ( ) ( ) 0.920735492

2 b a T f a f b ? ? ? ?

0 (1) (0)

0 0

0 0

1 ( 0.5 ) 0.939793285

2 2 i h T T f a ih h ? ? ? ? ? ? ?

1 (2) (1)

1 1

1 0

1 ( 0.5 ) 0.944513522

2 2 i h T T f a ih h ? ? ? ? ? ? ?

1 (3) (2)

2 2

2 0

1 ( 0.5 ) 0.945690864

2 2 i h T T f a ih h ? ? ? ? ? ? ? ex42.m

7 2

10 | | ? ? ? ? ? n n T T k T (k)

0 0.920735492

1 0.939793285

2 0.944513522

3 0.945690864

4 0.945985030

5 0.946058561

6 0.946076943

7 0.946081539

8 0.946082687

9 0.946082975

10 0.946083046 [ ]=0.946083070367 I f ?

18 梯形法的加速 但收敛速度较 慢 定理:设f(x)?C?[a, b], 记Tn = T (h), 则有

2 4

2 1

2 ( ) [ ] i i T h I f h h h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b a h n ? ? ? 梯形法递推公式算法简单,编程方便 梯形法的加速--龙贝格 (Romberg) 算法 证明:略(利用 Taylor 展开即可)

19 梯形法的加速

2 4

2 1

2 ( ) [ ] i i I h T h f h h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 4

2 1

2 [ ]

2 2

2 2 i i h h h h T I f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4 6

2 3

4 ( /2) ( )

3 [ ] (

3 / 4) (

15 / 16) T h T h I f h h ? ? ? ? ? ? ? ? ??

4 6

1 2 ( )

1 4 ( ) [ ]

3 2 S h h T T h I f h h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 [ ] ( ) I f O h ? ?

4 [ ] ( ) I f O h ? ?

6 8

1 2

1 16 ( ) ( ) [ ]

15 2 h S S h I f C h h h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?