PDF《2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学全国 I 卷》

4 小题,每小题

5 分,共20 分. 13. 已知函数 ,若 ,则 . 【答案】 【解析】

6 /

13 14. 若 满足约束条件 则 的最大值为 . 【答案】6 【解析】根据约束条件画出可行域: ,结合图象知直线 过点 时截距 最大,即 最大, 所以 . 15. 直线 与圆 交于 两点,则.【答案】 【解析】将圆的方程写成标准方程: ,所以圆心为 ,半径为 ,圆心到直线 的距离为 ,由勾股定理及垂径定理,有.16. 的内角 的对边分别为 , 已知 , , 则 的面积为 . 【答案】 【解析】由正弦定理得: ,所以 ,再由正弦定理有 ,

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13 又,,

所以有 , 而由 及余弦定理知 ,故 为锐角,所以 , 所以 ,所以 , 所以 的面积为 .

三、解答题:共70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第17―21 题为必考题,每个试题学 生都必须作答,第22,23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60 分17. (12 分)已知数列 满足 , ,设.(1)求;

(2)判断数列 是否为等比数列,并说明理由;

(3)求 的通项公式 【答案】 (1) (2)是(3) 【解析】 (1) , ,所以 , ,所以 (2)因为 ,所以 ,即 所以 是首项为 1,公比为

2 的等比数列 (3)由(2)可知 ,所以 18. (12 分)如图,在平行四边形 中, , .以 为折痕将 折起,使点 到达点 的位置,且.(1)证明:平面 平面 ;

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13 (2) 为线段 上一点, 为线段 上一点,且 ,求三棱锥 的体积. 【答案】 (1)见解析(2)1 【解析】 (1)在平行四边形 中, , 因为 ,所以 又 所以 面 因为 面 所以面 面.(2)如图所示,过作垂直 于 因为 ,又 是面 和面 的交线, 所以 面 ,因为 所以 面 ,所以 就是三棱锥 的高 因为 ,所以 , 因为 ,所以 , 由相似易得 , 到 的距离 . 所以 所以 . 19. (12 分)某家庭记录了未使用节水龙头

50 天的日用水量数据(单位: )和使用了节水龙头

50 天的 日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头

50 天的日用水量频数分布表 日用水量 频数

1 3

2 4

9 26

5 9 /

13 使用了节水龙头

50 天的日用水量频数分布表 日用水量 频数

1 5

13 10

16 5 (1)在答题卡上作出使用了节水龙头

50 天的日常用水量数据的频率分布直方图 (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 的概率;

(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按

365 天计,同一组中的数据以这组数据所 在区间重点的值作代表) 【答案】 (1)见解析(2) (3) 【解析】 (1)

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13 (2)只需要计算频率分布直方图中,横坐标为 左边的矩形的面积 其面积为 (3)未使用节水龙头,每日用水量平均值为 使用节水龙头,每日用水量平均值为 所以每日平均节省了 0.13 立方米的水量,因此一年节省 20. (12 分)设抛物线 : ,点,,

过点 的直线 与 交于 两点 (1)当与轴垂直时,求直线 的方程;

(2)证明: . 【答案】 (1) 或(2)见解析 【解析】 (1) 与 轴垂直时,其方程为 ,解得 或当时,方程为 当时,方程为 (2)要想证明 ,只需要证明 斜率相反 设 ,即只需要证明

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13 设 的方程为 ,联立抛物线方程可得: 所以 所以要证 ,即证 即证 代入 可得上式成立,因此 21. (12 分)已知函数 . (1)设是的极值点,求 ,并求 的单调区间;

(2)证明:当时, . 【答案】 (1) ,单调减区间 ,单调增区间 ;

(2)见解析 【解析】 (1) 的定义域为 ,易求得 , 则由 ,解得 , 所以 , 因为 在 上都是正的递增函数,所以 在 也是递增函数, 所以 至多一根,又易知 满足方程,所以 是其唯一解, 所以在 上, , 单调递减;