PDF《第三章》

第三章 机械能定理

1 § §3.

3.1

1 动能定理 动能定理 3.1.1 功与功率 a b F v l d v 力的空间累积量:功 元功 ? ? ? ? ? + + = = ? = dz F dy F dx F Fdl F F dl F l d F dW z y x // // // ) ( 切vv// F v ⊥ F v 变力沿曲线作功

2 质点从 a 到b的运动过程中,力F所作的功 ∫ ? = b a l d F W v v 在SI中,功的单位是 N・m (牛・米),又称 J (焦[耳]),即有J =N・m. a b F v l d v // F v ⊥ F v

3 重力功 mgh z z mg mgdz l d g m W a b b a b a = ? = = ? = ∫ ∫ ) ( ) ( v v z 平面 xy a b a z b z P l d v g m v O 重力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关, 与经过的路径无关.

4 弹力功 O a x b x F v kx Fx ? = x x+dx k ) (

2 1 ) (

2 2 b a x x x x x x x x x k dx kx dx F l d F W b a b a b a ? = ? = = ? = ∫ ∫ ∫ v v 弹力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关, 与其间经过的路径无关.

5 质点在运动过程中受多个力作用时 分力作功之和等于合力作功 W l d F l d F l d F l d F W b a b a i i b a i i i b a i i i ∫ ∫ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑ = ? = ? ? ? ? ? ? ? = ? = ? = v v v v v v v v ) (

6 一对作用力与反作用力: ) , (

2 1 F F v v O S系1rv2rv21 r v P1 P2

1 F v

2 F v

21 2

1 2

2 1

2 2

2 2

1 2

2 2

1 1 ) ( ) ( ) ( r d F r r d F r d r d F r d F r d F r d F r d F dW v v v v v v v v v v v v v v v v ? = ? ? = ? ? = ? + ? ? = ? + ? = 在所有相对平动的参考系中, 两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同 (受牛顿第三定律径向力约束)在任意参考系中, 两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同

7 万有引力功 a b F v r d v dr r Mm G rdr r Mm G r d r r Mm G l d F dW

2 //

3 3 ? = ? = ? ? = ? = v v v v r r Mm G F v v

3 ? = M dr r d = // v r m M系?????????=abrrGMm W

1 1 与路径无关

8 二体径向位力功 r r r F F v v ) ( = rdr r d r = ? v v 弹力和万有引力都是径向力 库仑力功 库仑力功 ? ∫ = b a r r dr r F W ) ( r r Qq k F v v

3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = b a r r kQq W

1 1

9 功率 v F dt l d F dt l d F dt dW P v v v v v v ? = ? = ? = = 功率 P :力在单位时间内所作的功: dt dW P = 设F作用的对象在 dt 时间的位移量为 dl v F P v v ? = 在SI中,功率单位特称W(瓦[特]),即有W = J/s

10 3.1.2 质点动能定理 a b F v l d v ⊥ F v 任一惯性系S中,合力 F 对质点所作元功 dl F l d F dW // = ? = v v 牛顿第二定律的切向分量式 dt dv m ma F = = // // 代入得 ? ? ? ? ? ? = = = =

2 2

1 mv d mvdv dt dl mdv dl dt dv m dW ? ? ? ? ? ? = = ? = ? = ? =

2 2

1 mv d mvdv v d v m dt l d v md l d dt v d m dW v v v v v v // F v

11 在S系中定义质点的动能:

2 2

1 mv Ek = 质点动能定理 合力对质点作的功等于质点动能的增加量 微分式 k dE dW = 积分式 k E W Δ = 非惯性系中引入惯性力作功量,它与真实力作功量之和 也等于质点在非惯性系中动能的增量. k dE dW dW = + 惯12 3.1.3 质点系动能定理 质点系在某惯性系的动能 ∑ = i ki k E E 质点系动能定理: k E W W Δ = + 外内非惯性系中引入各质点所受惯性力作功之和W惯,也可有相应的 质点系动能定理 k E W W W Δ = + + 外内惯内力是否作功?

13 例例1

1 h l m A F v0 h l A v0 O θ φ 试求 F 的功率 l h l Fv Fv v F P

2 2

0 0

0 cos ? = = ? = φ v v m ma mg T F + = =

0 2

2 2 = ? ? ? ? ? ? ? = dt d l dt l d ar θ φ θ sin

0 v dt d l =

2 2 dt l d am = ? = P A点以v0匀速水平运动