PDF《第三章》

30 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? ? = k z E j y E i x E F p p p v v v v 引入哈密顿算符 k z j y i x v v v ? ? + ? ? + ? ? = ? p E F ?? = v

31 势能曲线 一维势能函数对应的 Ep - x 曲线称为势能曲线;

二维的称为势能曲面. 例 二体引力势能对应的势能曲线 r Mm G r Ep ? = ) ( Ep r

32 思考题 半径为R的光滑圆环绕竖直轴以?0匀速转动,圆环上套一小球, 试确定其稳定平衡点位置.

0 ω R O

33 例4 均匀柱形弹性体:劲度系数 k、 自由长度 L,质量 m, 求竖直悬挂时的伸长量和弹性势能. 均匀柱形弹性体的性质: 原长 L 中任意一段 l 的劲度系数 k l L kl = 受力 F 时,

2 ) (

2 1 , , / L k E L L l l k F L p Δ = Δ = Δ = Δ O x

34 对应原长 x 处dx 段的劲度系数 k dx L kdx = 受力 mg L x L ? 该小段的伸长量 dx k mg L x L dl ? =

2 总伸长量 k mg dl L L

2 0

2 2 = = Δ ∫ 内含弹性势能 k g m dl k E L dx p

6 ) (

2 1

2 2

0 2

2 2 = = ∫

35 § §3. 3.3

3 机械能定理 机械能定理 3.3.1 机械能定理 从力学的角度看,质点间的相互作用力或是保守性的, 或是非保守性的. ? ? ? ? ? 外力 非保守性内力 保守性内力 质点系受力

36 惯性系中质点系动能定理: k E W W W Δ = + + 外 内非保 内保 将保守性内力作功之和用它们的势能代替, 动能定理可改写为 ) ( p k E E W W + Δ = + 外 内非保 质点系中各对保守性内力对应的势能之和 Ep 各对保守性内力作功之和W内保便等于Ep的减少量 p E W Δ ? = 内保 非保守性内力作功之和W内非保,外力作功之和W外37 定义质点系动能与内势能之和为质点系机械能 p k E E E + = 质点系机械能定理 所有非保守内力作功与所有外力作功之和 等于质点系机械能增加量 E W W Δ = + 外 内非保

38 质点系所受外力也可进一步分为保守性的和非保守性的. 保守性的外力也有对应的外势能 非惯性系中各质点所受保守性惯性力对应的势能之和 Ep惯EWWWΔ=++外内非保 惯非保 其中 惯ppkEEEE++=39 3.3.2 机械能守恒定律 动能由各质点速度确定, 势能由系统自身几何位置和形状确定, 速度和几何位形都是运动状态的表征, 因此机械能是由系统运动状态确定的力学量. 动能 势能 保守力作功 机械能 其它形式的能量 非保守力作功 除机械能外,还有许多其它形式的能量

40 机械能守恒定律 为守恒量 则 若过程中恒有 外 内非保 ,

0 ,

0 : E dW dW = = 能量守恒定律 这条定律支配着至今 我们所知道的一切自然现象, 没有发现这条定律有什么例外.

41 例6某惯性系中质量各为m,M的质点A,B. 开始时相距l0,A静止,B沿连线向外以v0运动. 在力 F 作用下,B作匀速运动. (1) 试求A、B间距可达到的最大值lmax (2) 此过程中变力F所作的功. m M

0 v v A ........