PDF《Kaup-Kupershmidt 方程的非局域 对称及新的精确解∗》

物理学报Acta Phys.

Sin. Vol. 63, No.

18 (2014)

180205 Kaup-Kupershmidt方程的非局域 对称及新的精确解? 王振立 刘希强? (聊城大学数学科学学院, 聊城 252059) (

2014 年4月28 日收到;

2014 年6月16 日收到修改稿 ) 利用机械化算法得到了 Kaup-Kupershmidt 方程的非局域对称、 约化, 通过解约化方程得到了该方程的 一些新的精确解. 关键词: 非局域对称, Kaup-Kupershmidt方程, 对称约化, 精确解 PACS: 02.30.Jr, 11.10.Lm, 02.20.Ca, 04.20.Jb DOI: 10.7498/aps.63.180205

1 引言非线性偏微分方程 (NPDES) 被广泛用于描述 物理学领域中的复杂物理现象, 如流体力学、 固体 物理、 等离子体物理、 等离子体波、 化学物理、 凝聚 态物理等. 在过去的几十年里, 已经形成了很多研 究非线性微分方程精确解的有效方法, 如经典和 非经典李群方法[1,2] 、 反散射变换方法[3] 、 B?cklund 变换方法 [4] 、 Hirota'

s 方法 [5] 、 齐次平衡方法 [6?8] 、 Clarkson-Kruskal 直接方法 [9,10] 、 有理函数展开方 法[11?13] 和非局域对称方法[14?16] 等. 以上方法中经典和非经典李群方法是非常重 要的方法之一. 李群方法给出了构造微分方程变 换的方法.后来人们又把李对称做了一系列推广, 当无穷小系数包含了因变量的一阶导数项时, 这 样的对称叫作切对称;

当出现高阶导数项时, 被 叫作高阶对称, 以上两种对称统称为局域 (local) 对称. 当无穷小变量包含了非局域变量时, 此种 对称称为非局域 (nonlocal) 对称. 非局域对称可以 看作是局域对称的推广. 非局域对称是由 Vino- gradov 和Krasil'

shchik 提出的 [17] , 后来许多学者 在此基础上提出了很多寻找非局域对称的方法. 如Bluman[18,19] 利用守恒律构造势系统, 通过寻找 势系统的李群理论给出了一个构造微分方程点变 换的方法;

Galas[20] 利用伪势也寻找到了非局域对 称, 并利用非局域对称得到了一些新的精确解等;

Lou和Hu[21] 利用Darboux变换构造了多个可积模 型的非局域对称. 本文利用机械化算法构造并研究 Kaup-Kupershmidt (KK)方程的非局域对称, 通过 引入新的辅助变量, 把非局域化成普通的李对称, 并得到了新复合精确解. 以下考虑KK方程[22] ut = uxxxxx +

25 2 uxuxx + 5uuxxx + 5u2 ux. (1) 该方程是描述非线性和色散长重力波在浅海 水平方向均匀的深度的模型. 其相应的Lax对为 ψxx = ? uψ

4 , (2) ψt = (

1 2 uxx + u2 ) ψx ? (

1 4 uxxx + uux ) ψ. (3) 本文分以下几个部分: 在第二部分给出非局域 对称的机械化算法;

在第三部分求出 KK 方程的非 局域对称, 并通过约化方程得到该方程的精确解;

在第四部分给出一个简单的结论. ? 国家自然科学基金委员会 -中国工程物理研究院联合基金 (批准号: 11076015) 资助的课题. ? 通讯作者. E-mail: [email protected] ?

2014 中国物理学会 Chinese Physical Society http://wulixb.iphy.ac.cn 180205-1 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No.

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180205 2 非局域对称的机械化算法 考虑含有 p 个独立变量, q 因变量的 n 阶微分 方程组成的系统?, ?v(x, u(n) ) = 0, v = 1, 2,l, (4) 其中 x = (x1 , x2 xp ), u = (u1 , u2 uq ), 函数 ?v(x, u(n) ) = (?1(x, u(n) l(x, u(n) )) 是光滑的函数, u 关于 x 的导数为 n 阶, 且X=Rp 表示独立变量. 令V=ξp (x, u) ? ?xp + ηq (x, u) ? ?uq , (5) 为李变换 ? x = F(x, u, ε), ? u = G(x, u, ε) 下的无穷 小生成元. 下面介绍如何构造非局域对称, 为简单起见, 选取两个自变量p = 1, q = 1, 即(x1 , x2 ) = (t, x). 第一步: 选取适当的辅助系统, 如Lax 对, B?cklund, 势系统, 伪势等, 假设该辅助系统有 下面形式 Fα(x, t, ux, ut,ψx, ψt, ψxx, ψxt, ψtt, ・ ・ ・ ψλx, ψ?t) = 0, α ∈ Z+ , (6) 其中 ψ = (ψ1 , ψ2 ψβ ) 表示 β 个辅助变量, ψλx 为对x求λ次导数, ψ?t 为对t求?次导数. 令U?R, 表示用单个变量 u 的同构空间. U ? R 表示与 R2 同构, 坐标系为 (ux, ut). 同理, U2 ? R3 表示与 u 的二阶导数项同构的空间. Uk ? Rk+1 是与 u 的k阶导数项同构的空间. 因此有 U(k) = U * U1 Uk,坐标为 U(k) = (u;