PDF《Kaup-Kupershmidt 方程的非局域 对称及新的精确解∗》

ux, ut;

uxx, uxt, utt;

第二步: 把空间从X *U 延拓到空间X *U(n) 上, 其坐标为 (x, t, u, ux, ut,用?V(n) 表示空间 V 的n阶延拓, 其对应的向量场形式为 ? V (n) =

2 ∑ i=1 ξi ? ?xi + ∑ L ηL ? ?uL . (7) 在这里, 我们给出无穷小系数不同的的定义, 即ξi , ηL 定义为变量(x, t, u,ψ, ψx, ψt,ψλx, ψ?t)的函数. η0 = η 与ηL 具有下形式 ηL = DLu ?

2 ∑ i=1 uLDLξi . (8) 注1 在延拓向量场表示可以看出, 这种变换 既不是普通的李对称, 也不是 Lie-B?cklund 对称, 因为辅助变量不仅依赖于原函数及其导数项, 还依 赖于辅助方程的变量及其导数项, 这样的假设可以 帮助我们寻找非局域对称. 第三步: 为了求得非局域对称, 我们需要求解 下面方程 ? V (n) ?v(x, u(n) ) ?v(x,u(n))=0 Eqs.(2.3) = 0. (9) 利用上面方程, 可以得到一些关于变量 ξi , ηL 的方 程, 利用软件Maple求解即可.

3 KK方程的非局域对称及精确解 下面我们利用上述方法求解 KK 方程的非局 域对称. 方程(1)的Lax对为 ψxx = ? uψ

4 , (10) ψt = (

1 2 uxx + u2 ) ψx ? (

1 4 uxxx + uux ) ψ. (11) 由可积条件(10), (11)满足ψxxt = ψtxx 即KK方程 (1). KK 方程的对称 σu 可以表示为下面线性方程 的解 ? ?t σu ? ?5 ?x5 σu ?

25 2 ? ?x u ?2 ?x2 σu ?

25 2 ? ?x σu ?2 ?x2 u ? 5u ?3 ?x3 σu ? 5u2 ? ?x σu ? 10uσu ? ?x u = 0, (12) 由李对称理论得, 在变换 u → u + εσu (13) 下方程(1)的解是不变的, ε为参数. 对称的形式等价于方程 σu = Xux + Tut ? U. (14) 假设变量 X, T, U 是x, t, u, ψ, ψx 的任意函数, 把方程 (14) 代入到方程 (12), 并且利用 KK 方程及 其Lax 对消掉 ut, ψxx, ψt, 得到关于变量 X, T, U 的 方程, 求解得到 X = c1

5 x + c4, T = c1t + c2, U = c3ψ3 ψx ?

2 5 c1u. (15) 180205-2 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No.

18 (2014)

180205 因此方程(1)的对称为 σ = ( c1

5 x + c4 ) ux + (c1t + c2)ut +

2 5 c1u ? c3ψ3 ψx, (16) 其中, ci(i = 1, 2, 3, 4)为任意常数. 注2 在(16)中所得对称包含了两部分, σ1 = ( c1

5 x + c4 ) ux + (c1t + c2)ut +

2 5 c1u 为经典的李对称, σ2 = ?c3ψ3 ψx 为非局域对称. KK 方程的非局域对称 (16) 包含了变量 ψ 的 导数项, 需要引入新的辅助变量, 使之局域化 为普通李对称, 为简单起见, 在对称(16) 中令c1 = c2 = c4 = 0, c3 = ?1, 有σ=ψ3 ψx, (17) 引入辅助变量 ψ1 = ψx 与p, 并且 p满足 px = ? ψ4

24 组成封闭系统(x, t, u, ψ, ψ1, p), 其对称满足方程为 σu,t ? σu,5x ?

25 2 uxσu,xx ?

25 2 σu,xuxx ? 5uσu,xxx ? 5σuuxxx ? 5u2 σu,x ? 10uσuux = 0, σψ,t ?

1 2 uxxσψ,x ?

1 2 σu,xxψx ? u2 σψ,x ? 2uσuψx +

1 4 uxxxσψ +

1 4 σu,xxxψ + uuxσu + uσu,xψ + σuuxψ = 0, σψ,xx + u

4 σψ + σu

4 ψ = 0, σp,x + ψ3 ψ1

6 = 0, σψ,x ? σψ1 = 0. (18) 假设方程组的对称具有下面形式 σu = Xux + Tut ? U, σψ = Xψx + Tψt ? Ψ, σψ1 = Xψ1,x + Tψ1,t ? Ψ1, σp = Xpx + Tpt ? P. (19) 其中变量X, T, U, Ψ, Ψ1, P 是x, t, u, ψ, ψ1, p的函数, 把(19) 式代入到 (18) 式, 并利用封闭系统, 得到关 于变量X, T, U, Ψ, Ψ1, P 的决定方程组, 利用计算软 件Maple求解得到 X = c1

5 x + c4, T = c1t + c2, U = ? 2c1

5 u + c3ψ3 ψ1, Ψ = ψ(c3p + c5), Ψ1 = ? c1ψ1

5 ? ψ5 c3

24 + ψ1c3p + ψ1c5, P = 2c3p2 + (20c5 + c1)p

5 + c6, (20) 其中, c1, c2, c3, c4, c5, c6 为任意常数. 因此对称可 以记为 σu = ( c1

5 x + c4 ) ux + (c1t + c2)ut + 2c1

5 u ? c3ψ3 ψ1, σψ = ( c1