PDF《Kaup-Kupershmidt 方程的非局域 对称及新的精确解∗》

5 x + c4 ) ux + (c1t + c2)ut ? ψ(c3p + c5), σψ1 = ( c1

5 x + c4 ) ux + (c1t + c2)ut + c1ψ1

5 + ψ5 c3

24 ? ψ1c3p ? ψ1c5. (21) 为了得到群不变解, 需要求解以下特征方程组 dx c1

5 x + c4 = dt c1t + c2 = du c3ψ3ψ1 ? 2c1

5 u = dψ ψ(c3p + c5) = dψ1 ? c1ψ1

5 ? ψ5 c3

24 + ψ1c3p + ψ1c5 = dp 2c3p2 + (20c5 + c1)p

5 + c6 . (22) 下面讨论两种非平凡形式的解, 首先令 (22)中的c3 ?= 0. 情况1 c1 ?= 0, c2 = c4 = c5, c6 ?=

0 为了便于计算, 引入常数c2 = 200c6c3 ? c2 1, 求 解方程(22)可以得到 p = ?

1 20 c1(1 + 2c tanh ?1) c3 , ψ = Q(z) e?

1 4 P (z) x1/4 √ cosh ?1 , ψ1 = e?

1 4 P (z) Q1(z) x5/4 √ cosh ?1 ?

5 24 * e?

1 4 P (z) Q5 (z)c3 sinh ?1 cc1x5/4 cosh3/2 ?1 , u = [25c2 3Q8 (z) e?2P (z) + 120c3Q3 (z) e?2P (z) Q1(z)cc1 sinh(2?1) 180205-3 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No.

18 (2014)

180205 + 24U(z)c2 c2

1 cosh(2?1) + 24U(z)c2 c2 1] /24x2 c2 c2 1(1 + cosh(2?1)), (23) 其中 ?1 = c(ln(x) + P(z)), z = t x5 , U(z), Q(z), Q1(z) 和P(z) 为群不变量. 把(22) 式 代入到延拓系统里得到以下结果: Q(z) =

675 1

4 √ 2(?c2 c1 eP (z) (5zPz(z) ? 1)c3 3)

1 4 5c3 , Q1(z) =

3 5 c2 c1 eP (z) (30zPz(z) + 25z2 Pz(z) ? 1) c3Q(z)3 , U(z) =

1 4

1 1 + 25z2P2 z (z) ? 10zPz(z) * [?600c2 z2 P2 z (z) + 700zPz(z) + 1875z4 P2 zz(z) + 500z3 Pzzz(z) + 1650z2 Pzz(z) ? 2500z4 Pz(z)Pzzz(z) ? 4500z3 Pz(z)Pzz(z) ? 4c2 ? 1500z2 P2 z (z) ? 2500c2 z4 P4 z (z) + 80c2 zPz(z) + 2000c2 z3 P3 z (z)], (24) 其中P(z)满足下面常微分方程 100P3 z P2 zz ? 100P4 z Pzzz + 25P2 zzPzzz + zP3 z ? 25PzPzzPzzzz ? 5P2 z + 80P7 z + 5P2 z Pzzzzz = 0. (25) 情况2 c1 = 0, c2 = c4 = 0, c5 ?= 0, c6 ?=

0 类似地, 引入常数 g2 = 2c6c3 ? 4c2

5 求解方程 (22)可以得到 p =

1 2 ?2c5 + g tanh ?2 c3 , ψ = Q(z)(1 + tan2 ?2)1/4 , ψ1 = ?

1 24g (........