PDF《第1章》

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第1章矩阵代数 金林中南财经政法大学统计系 [email protected]

2016 年春 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

2016 年春

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Outline

1 定义

2 矩阵的运算

3 行列式

4 矩阵的逆

5 矩阵的秩

6 特征值、特征向量和矩阵的迹

7 正定矩阵和非负定矩阵

8 特征值的极值问题

9 矩阵分解 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定义

1 定义

2 矩阵的运算

3 行列式

4 矩阵的逆

5 矩阵的秩

6 特征值、特征向量和矩阵的迹

7 正定矩阵和非负定矩阵

8 特征值的极值问题

9 矩阵分解 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定义 定义 p 维列向量: a = ? ? ? ? ? ? a1 a2 . . . ap ? ? ? ? ? ? 向量 a 的长度:∥a∥ = √ a′a = √ a2

1 + a2

2 a2 p 单位向量:∥a∥ =

1 p * q 矩阵: A = ? ? ? ? ? ? a11 a12 ・ ・ ・ a1q a21 a22 ・ ・ ・ a2q . . . . . . ... . . . ap1 ap2 ・ ・ ・ apq ? ? ? ? ? ? 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定义 定义 若A的所有元素全为零,则称 A 为零矩阵,记作 A =

0 . 若p=q,则称 A 为p阶方阵,a11, a22,app 称为它的对角线 元素,其他元素 aij(i ?= j) 称为非对角线元素. 若方阵 A 的对角线下方的元素全为零,则称 A 为上三角矩阵.显然,aij = 0, i >

j . 若方阵 A 的对角线上方的元素全为零,则称 A 为下三角矩阵.显然,aij = 0, i <

j . 若方阵 A 的所有非对角线元素均为零,则称 A 为对角矩阵,简记 为A=diag(a11, a22,app) . 若p阶对角矩阵 A 的所有 p 个对角线元素均为 1,则称 A 为p阶单位矩阵,记作 A = I . 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的运算

1 定义

2 矩阵的运算 矩阵分块

3 行列式

4 矩阵的逆

5 矩阵的秩

6 特征值、特征向量和矩阵的迹

7 正定矩阵和非负定矩阵

8 特征值的极值问题

9 矩阵分解 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的运算 矩阵的运算 若A=(aij) : p * q, B = (bij) : p * q, 则A与B的和定义为 A + B = (aij + bij) : p * q 若c为一常数,则它与 A 的积定义为 cA = (c ・ aij) : p * q 若A=(aij) : p * q, B = (bij) : q * r , 则A与B的积定义为 AB = ( q ∑ k=1 aikbkj ) p * r 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的运算 转置和对称矩阵 若将矩阵 A 的行与列互换,则得到的矩阵称为 A 的转置矩阵,记作A′ ,即A′ = ? ? ? ? ? ? a11 a21 ・ ・ ・ ap1 a12 a22 ・ ・ ・ ap2 . . . . . . ... . . . a1q a2q ・ ・ ・ apq ? ? ? ? ? ? 若方阵 A 满足 A′ = A ,则称 A 为对称矩阵.显然,aij = aji . 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数