PDF《第1章》

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的运算 运算定律 (1) (A + B)′ = A′ + B′ . (2) (AB)′ = B′ A′ . (3) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 . (4) A ( k ∑ i=1 Bi ) = k ∑ i=1 ABi . (5) c(A + B) = cA + cB . 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的运算 正交矩阵 若两个 p 维向量 a 和b满足 a′ b = a1b1 + a2b2 apbp =

0 则称 a 和b正交. 几何上,正交向量之间相互垂直. 若方阵 A 满足 AA′ = I ,则称 A 为正交矩阵.正交矩阵的三个 等价定义: AA′ = I ? A′ = A?1 ? A′ A = I 若方阵 A 满足 A2 = A ,则称 A 为幂等矩阵. 对称的幂等矩阵称为投影矩阵. 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的运算 矩阵分块 矩阵分块 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的运算 矩阵分块 矩阵分块 设A=(aij) : p * q, 将它分成四块, 表示成 A = ( A11 A12 A21 A22 ) 其中 A11 : k * l, A12 : k * (ql), A21 : (pk) * l , A22 : (pk) * (ql) . 若A和B有相同的分块, 则A+B=(A11 + B11 A12 + B12 A21 + B21 A22 + B22 ) 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的运算 矩阵分块 分块矩阵的乘法 若C为q*r矩阵, 分成 C = ( C11 C12 C21 C22 ) 其中 C11 : l * m, C12 : l * (r ? m), C21 : (ql) * m, C22 : (q ? l) * (r ? m) , 则有 AC = ( A11 A12 A21 A22 ) ( C11 C12 C21 C22 ) = ( A11C11 + A12C21 A11C12 + A12C22 A21C11 + A22C21 A21C12 + A22C22 ) 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 行列式

1 定义

2 矩阵的运算

3 行列式

4 矩阵的逆

5 矩阵的秩

6 特征值、特征向量和矩阵的迹

7 正定矩阵和非负定矩阵

8 特征值的极值问题

9 矩阵分解 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 行列式 定义 p 阶方阵 A = (aij) 的行列式定义为 |A| = ∑ j1j2・・・jp (?1)τ(j1j2・・・jp) a1j1 a2j2 ・ ・ ・ apjp 这里 ∑ j1j2・・・jp 表示对 1, 2,p 的所有排列求和,τ(j1, j2,jp) 是排列 j1, j2,jp 中逆序的总数,称它为这个排列的逆序数,一个逆序是指在 一个排列中一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的 数.例如, τ(3142) =

1 + τ(1342) =

3 + τ(1234) =

3 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 行列式 性质 (1) 若A的某行 (或列) 为零,则|A| =

0 . (2) |A′ | = |A| . (3) 若将 A 的某一行 (或列) 乘以常数 c ,则所得矩阵的行列式为 c|A| . (4) 若A是一个 p 阶方阵,c 为一常数,则|cA| = cp|A| . (5) 若互换 A 的任意两行 (或列),则行列式符号改变. (6) 若A的某两行 (或列) 相同,则行列式为零. (7) 若将 A 的某一行 (或列) 的倍数加到另一行 (或列),则所得行 列式不变. 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数