PDF《第1章》

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 行列式 性质 (8) 若A的某一行 (或列) 是其他一些行 (或列) 的线性组合,则行 列式为零. (9) 若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵,则(10) 若A和B均为 p 阶方阵,则|AB| = |A||B| . (11) |AA′ | ≥

0 . (12) 若A与B都是方阵,则AC0B=A0CB=|A| |B| (13) 若A:p*qB : q * p ,则|Ip + AB| = |Iq + BA| 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 行列式 代数余子式 设A为p阶方阵,将其元素 aij 所在的第 i 行与第 j 列划去之后所 得(p ? 1) 阶矩阵的行列式,称为元素 aij 的余子式,记为 Mij . Aij = (?1)i+jMij 称为元素 aij 的代数余子式. 代数余子式有以下公式成立 |A| = p ∑ j=1 aijAij = p ∑ i=1 aijAij p ∑ j=1 akjAij =

0 (k ?= i) p ∑ i=1 aikAij =

0 (k ?= j) 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的逆

1 定义

2 矩阵的运算

3 行列式

4 矩阵的逆

5 矩阵的秩

6 特征值、特征向量和矩阵的迹

7 正定矩阵和非负定矩阵

8 特征值的极值问题

9 矩阵分解 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 矩阵的逆 定义 若方阵 A 满足 |A| ?=

0 ,则称 A 为非退化方阵;

若|A| =

0 ,则称A为退化方阵. 设A=(aij) 是一非退化方阵,若方阵 C 满足 AC = I ,则称 C 为A的逆矩阵,记为 C = A?1 ,A?1 必是一个非退化矩阵. 令B′ = (Aij)/|A| , 其中 Aij 是aij 的代数余子式,则容易验证 AB = BA = I . 由于 C = BAC = B ,因此 A?1 是惟一的,且(A?1 )?1 = A . 金林(中南财经政法大学统计系) 第1章矩阵代数

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