PDF《2019 年北京市朝阳区高三二模数学考试（理科）逐题解析》

(Ⅱ)求证: 平面 ;

(Ⅲ)求二面角 的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)在三棱柱 中,易知 为 中点 为 中点 为 中位线 平面 又 平面 平面 北京新东方优能中学&

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13 (Ⅱ) 为正三角形, 为 中点 底面 底面 又,平面 平面 平面 平面 又,,

,即: , 平面 , 平面 平面 北京新东方优能中学&

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14 (Ⅲ)过 点作 以 为坐标原点, 所在的直线为 轴, 所在的直线为 轴 所在的直线为 轴,建立如图所示空间直角坐标系 , , , 平面 取 为平面 的一个法向量 设平面 的法向量为 则: , 即: 令,二面角 为锐二面角 二面角 的余弦值为 北京新东方优能中学&

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15 18.(本小题满分

13 分) 已知函数 ,且.(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;

(Ⅱ)若函数 的极小值为 ,试求 的值. 【解析】 (Ⅰ) 因为 所以 ,且即.所以切线方程为 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 .定义域为 ①: 时,令,.,分布如下表所示 极小值 的极小值为 且 所以 , ,所以 (舍) 北京新东方优能中学&

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16 ② 时,令 .即 , 1. 当 ,即 时, ,即在单调递减,此时 无极值 2. 当 ,即 时, , 分布如下表所示 极小值 极大值 的极小值为 ,即即.所以 3. 当 ,即 时, , 分布如下表所示 极小值 极大值 的极小值为 ,即 所以 即 (舍), 综上所述 北京新东方优能中学&

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17 19.(本小题满分

14 分) 已知椭圆 : 的离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)设直线 过点 且与椭圆 相交于 , 两点.过点 作直线 的垂线,垂 足为 ,证明:直线 过 轴上的定点. 【解析】 (Ⅰ)由题意知 所以 ,所以椭圆方程为 (Ⅱ)①若直线 与 轴垂直,不妨设 点在 轴下方 易得 , , 设直线 与 轴的交点 满足 所以 解得 所以 点坐标为 北京新东方优能中学&

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18 ②若直线 与 轴不垂直,设 的方程为 , , ,则 联立 得: 显然 所以 , 所以 所以直线 始终过 轴上的定点 北京新东方优能中学&

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19 20. (本小题满分

13 分) 对于由有限个自然数组成的集合 ,定义集合 ,记集合 的元素个数为 .定义变换 ,变换 将集合 变换为集合 . (Ⅰ)若 ,求 , ;

(Ⅱ)若集合 有 个元素,证明: 的充要条件是 集合 中的所有 元素能组成公差不为 的等差数列 ;

(Ⅲ)若 ,且 ,求元素个数最少的集合 . 【解析】 (Ⅰ) (Ⅱ)令.不妨设 . 充分性:设 是公差为 的等差数列. 则且.所以 共有 个不同的值. 即.必要性:若.因为 , . 所以 中有 个不同的元素: . 任意 ( ) 的值都与上述某一项相等. 又 ,且 , . 所以 ,所以 是等差数列,且公差不为 0. 北京新东方优能中学&

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20 (Ⅲ)首先证明: .假设 , 中的元素均大于 1,从而 , 因此 ,故 ,与 矛盾,因此 . 设 的元素个数为 , 的元素个数至多为 ,从而 的元素个数至多为 .若 ,则 元素个数至多为 5,从而 的元素个数至多 为 ,从而 元素至少为 26,因此 . 假设 有三个元素, 设,且,则,从而 .若,中比

4 大的最小数为 ,则 ,与题意 矛盾,故.集合 中最大数为 ,由于 ,故 ,从而 . ........