PDF《2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析》

Born to win

2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、选择题:1~8 小题,每小题

4 分,共32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 .

.. 指定位置上. (1)当0x?时,若tan k x x x ? 与 是同阶无穷小,则k?(A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 【答案】C 【解析】

3 3

3 1

1 tan

3 3 x x x x x o x x ? ? ? ? ? ? 故3. k ? (2)已知方程

5 5

0 x x k ? ? ? 有3个不同的实根,则k的取值范围( ) (A) ( , 4) ?? ? (B) (4, ) ?? (C)[ 4,4] ? (D) ( 4,4) ? 【答案】D 【解析】

5 4

4 2

2 + ( )

5 , ( )

5 5 5( 1) 5( 1)( 1) 1, ( ) 0;

1 1, ( ) 0;

1, ( ) 0;

lim ( )=+ lim ( )= , ( 1) 0, (1)

0 ( 1)

1 5 0, (1)

1 5 0,

4 4 x x f x x x k f x x x x x x f x x f x x f x f x f x f f f k f k k ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令则则又,结合单调性知 时才有三个根,即则(3)已知微分方程 x y ay by ce ?? ? ? ? ? 的通解为

1 2 ( ) , x x y C C x e e ? ? ? ? 则,,

abc依次为 ( ) (A)1,0,1 (B)1,0,2 (C)2,1,3 (D)2,1,4 【答案】D 【解析】 ? ?

2 2

1 0

1 2, 1;

2 , 4. x x r ar b r a b e y y y ce c ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 由题干分析出 为特征方程 的二重根,即=0 故又为的解 代入方程得 (4)若1nnnu ? ? ? 绝对收敛,若1nnvn???条件收敛,则( ) (A)

1 n n n u v ? ? ? 条件收敛 (B)

1 n n n u v ? ? ? 绝对收敛 Born to win (C)

1 ( ) n n n u v ? ? ? ? 收敛 (D)

1 ( ) n n n u v ? ? ? ? 发散 【答案】B 【解析】

3 3

1 : , ( 1) ;

1 1 : , ( 1) ;

ln n n n n n n A C u v n D u v n n ? ? ? ? ? ? 、 反例 反例 (5)设A是四阶矩阵, * A 是 A的伴随矩阵,若线性方程组

0 Ax ? 的基础解系中只有

2 个 向量,则*A的秩是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 (A) 【解析】由于

0 AX ? 的基础解系有只有两个解向量,则4()2()23RARA????由可得 , * ( ) 0. R A ? 故(6) 设A是3阶实对称矩阵, E 是3阶单位矩阵, 若22AAE??,且| |

4 A ? ,则二次型 T x Ax 的规范形为 A.

2 2

2 1

2 3 y y y ? ? . B.

2 2

2 1

2 3 y y y ? ? . C.

2 2

2 1

2 3 y y y ? ? . D.

2 2

2 1

2 3 y y y ? ? ? 【答案】C 【解析】

2 2 A A E ? ? ? ,设 A的特征值为?

2 2 ? ? ? ? ? ( 2)( 1)

0 ? ? ? ? ?

2 1 ? ? ? ? 或4A??A?的特征值为

1 2

3 2,

1 2,

1 q p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Born to win T X Ax ? 的规范形为

2 2

2 1

2 3 y y y ? ? (7)设,AB为随机事件,则()()PAPB?的充分必要条件是 A. P A B P A P B ? ? ? B. P AB P A P B ? C. P AB P BA ? D. P AB P AB ? 【答案】C 【解析】 ( )

0 A P AB ? ? 选项 ,故A排除 A B ? B选项 、 独立,故B排除 P A P AB P B P AB ? ? ? ? C选项 ( ) ( ) P A P B ? 而 ,故 C 正确 ( ) ( )

1 ( ) P AB P A B P A B ? ? ? ? ? ? D选项

1 P A P B P AB ? ? ? ?

1 ( ) ( ) P A P B ? ? ? 故D排除 (8)设随机变量 X 与Y 相互独立,且都服从正态分布

2 ( , ) N ? ? .则??1PXY??A.与?无关,而与

2 ? 有关. B. 与?有关,而与

2 ? 无关. C. 与2,??都有关. D. 与2,??都无关. 【答案】A 【解析】 , X Y 独立,服从正态分布,则2(,2 ) z x y N ? ? ? ? ?

1 1 ( 1) (

1 1) ( )

2 2

2 Z P X Y P Z P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 ( )

1 2? ? ? ? ,故A正确

二、填空题:9?14 小题,每小题

4 分,共24 分,请将答案写在答题纸 ... 指定位置上. Born to win (9) ? ?

1 1

1 lim

1 2

2 3

1 n n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【答案】