PDF《2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析》

12 21

22 11

12 22

2 1) '

'

2 '

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'

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g f f f f f f f y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

2 11

12 22

11 22

11 12

22 2

2 11

22 '

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2 '

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1 2 '

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1 3 '

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'

'

g g g f f f f f f f f x x y y f f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (17) (本题满分

10 分)已知 ( ) y x 满足微分方程

2 2

1 '

2 x y xy e x ? ? ,且有 ( ) y e e ? . (1)求()yx;

(2) ? ? ( , )

1 2,0 ( ) D x y x y y x ? ? ? ? ? ,求平面区域 D 绕x轴旋转成的旋转体体积 【答案】 (1)

2 2 x y xe ? ? ;

(2)

4 ( 4)

2 V e ? ? ? ;

【解析】 (1) ? ?

2 2

2 ( ) ( )

2 2

2 1

1 2

2 x x x x dx x dx y e e e dx C e dx C e x C x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 ( )

0 x y e e C y xe ? ? ? 由 可得 ,故.(2)

2 2

2 2

4 1

1 ( 4).

2 x V y dx xe dx V e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (18) (本题满分

10 分)求曲线 sin ( 0) y e x x x ? ? ? 与x轴之间图形的面积 【答案】 【解析】所求面积 ? ?? ? ?

0 sin dx x e A x . Born to win ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

2 1

1 2

1 2

1 2

1 lim

2 1 lim

2 1

1 1

1 lim

2 1 sin cos

2 1

1 lim sin

1 lim sin

1 1

0 1

0 1

1 1

1 0

0 1

0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e e e e e e e e x x e dx x e dx x e n n k k n n k k k n n k k k k k k n k k n k x k n n k k k x k n x (19) (本题满分

10 分)设1201(0,1,2,...) n n a x x dx n ? ? ? ? (1)证明:? ? n a 单调递减,且21(2,3...)

2 n n n a a n n ? ? ? ? ? (2)

1 n n n a lim a ?? ? 【答案】 【解析】

1 2

0 1 n n a x x dx ? ? ? (1)令sin x t ? ,则??????????22022022200cos

1 sin

1 3

1 1

2 2

2 2

1 3

2 1

1 2

2 3

2 3

1 1

2 2

1 1

2 2

3 n n n n n a sin t tdt sin t t dt sin tdt sin tdt n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为偶 为奇 为偶 为奇 Born to win n 为奇数, ? ? ? ?? ?

1 1

2 3

1 2

1 1

1 2

3 1

2 2

3 n n n n n a n n n a n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;

n 为偶数, ? ? ? ?? ?

1 1

2 2

3 1

2 1

1 1

2 3

1 2

3 n n n n n a n n n a n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;

故? ? n a 单调减少. n 为偶数时,

2 1

1 1

1 2

1 3

2 2

2 n n n a n n n n a n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;

n 为奇数时,

2 1

1 2

1 2

3 1

3 2

2 2

3 n n n a n n n n a n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;

故??212,3,

2 n n n a a n n ? ? ? ? ? ? (2) ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

1 2 lim

3 1

2 lim

2 2 lim

3 1

2 2 lim

2 2 lim n n n n n n n n n n n n n n n n a a n n n n n n n a n a a n a ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为奇 为偶 为奇 为偶 为偶 为奇 (20) (本题满分

11 分)已知向量组

1 2

3 2

1 1

1 ( )

1 ,

0 ,

2 ,

4 4

3 a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2

3 2

1 0

1 ( )

1 ,

2 ,

3 ,

3 1

3 a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若向 量组( ) ? 和向量组( ) ?? 等价,求? 的取值,并将