PDF《2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析》

1 e? 【解析】

1 1

1 1

1 1

1 = lim(1 ) lim(1 )

2 2

3 +1 +1 n n n n e n n n ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 原式 (10) 曲线

3 sin 2cos

2 2 y x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的拐点坐标为 【答案】 【解析】 '

sin cos 2sin cos sin y x x x x x x x ? ? ? ? ? '

'

cos sin cos sin y x x x x x x ? ? ? ? ? 令'

'

0 0 y x x ? ? ? ? 得或当'

'

0;

'

'

0 x y x y ? ? ? ? ? ? ? 时当时, ,故( ,-2)为拐点 (11) 已知 ? ?

4 1

1 x f x t dt ? ? ? ,则??120xfxdx ? ? 【答案】 【解析】

3 3

3 1

1 1

1 2

4 0

0 0

0 0

1 3

3 3 x x x x f x dx f x f x dx x dx ? ? ? ? ? ? ? ?

1 3

1 4

4 4

2 0

0 1

1 1

2 2

2 1

1 2

2 1 (1

3 4

12 3

18 18 x d x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1 ) (12) A、B 两商品的价格分别为 , A B P P ,需求函数

2 2

500 2 , 10,

20 A A A B B A B Q P P P P P P ? ? ? ? ? ? , 求A商品对自身价格的需求弹性AA ? ? ? ?

0 ? ? 【答案】 【解析】

2 20

500 20

800 B A A A P Q P P ? ? ? ? ? 时,

2 ・ = (

2 20)・

1300 20 A A A A A A A A dQ P P P dP Q P P ? ? ? ? ? ? 当210

5 A P ? ? 时, = . Born to win (13)

2 1

0 1

0 1

1 1 ,

1 ,

0 1

1 A b AX b a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有无穷多解,求a?【答案】

1 a ? 【解析】 AX b ? 有无穷多解,则??,()2RAbRA??,故

2 1 0,

1 A a a ? ? ? ? ? 即,当1a?时, ? ? , ( ) 2. R A b R A ? ? 当1a??时, ? ? , ( ). R A b R A ? 综上,故1a?.(14)变量 X 的概率密度为 ,0 2, ( )

2 0, x x f x ? ? ? ? ? ? ? ? 其他, , ( ) F x 为X的分布函数, EX 为X的数学期望,则??()1PFXEX ? ? ? ________ 【答案】

2 3 【解析】 ,

0 2 ( )

2 0 , x x f x ? ? ? ? ? ? ? ? 其他22320014

2 6

3 x E x xf x dx dx x ?? ?? ? ? ? ? ? ?

0 0

0 ( ) ( )

0 2

2 1

2 x x x t F x f t dt dt x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

2 3

1 1)

3 1

2 2 ( ) ( )

4 3

2 3

3 P F x E x P F x x x P P x dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

三、解答题:15―23 小题,共94 分.请将解答写在答题纸 ... 指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15) (本题满分

10 分)已知

2 , 0, ( ) 1,

0 x x x x f x xe x ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 求'

( ) f x ,并求 ( ) f x 的极值 【答案】 Born to win 【解析】当0x?时.

2 ln

2 ln

2 2 2) (2 2) x x x x x f x e e lnx x lnx ? ? ? ? ? 当0x?时. x x x f x xe e xe ? ? ? .

0 0 ( ) (0)

1 1 '

(0) lim lim

1 0 x x x f x f xe f x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 0

0 0 ( ) (0)

1 2 ln '

(0) lim lim lim

0 x x x x f x f x x x f x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 故2(2 2),

0 '

( ) (1 ),

0 x x x lnx x f x e x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在0x?附近 当0x?时, '

( ) 0. ( ) f x f x ? 单调递减. 当0x?时, '

( ) 0. ( ) f x f x ? 单调递增. 故()0(0)

1 f x x f ? ? 在 取极大值. . (

16 )( 本题满分10 分)已知(,)fu?具有2阶连续偏导数,且 g x y xy f x y x y ? ? ? ? ,求22222.gggxxyy?????????【答案】 【解析】 g x y xy f x y x y ? ? ? ?

1 2 '

'

g y f f x ? ? ? ? ?

2 11

12 21

22 11

12 22

2 2 '

'

'

'

g f f f f f f f x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 11

12 21

22 11

22 1 '

'

'

'

( 1)1)

1 '

'

'

'

g f f f f f f x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 '

'

g x f f y ? ? ? ? ? Born to win

2 11