PDF《数学杂志》

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37 (

2017 ) No.

4 数学杂志J. of Math. (PRC) 关于 square-full 数上的函数 q (e) k (n) 的均值估计 杨丽1,2,3 , 傅春3(1. 南昌大学管理学院, 江西 南昌 330031) (2. 南昌大学理学院, 江西 南昌 330031) (3. 南昌大学中国中部经济社会发展研究中心, 江西 南昌 330031) 摘要: 本文研究了指数 k-free 数的特征函数 q (e) k (n)(k ≥ 3) 在square-full 数集中的均值估计 问题. 利用黎曼 Zeta 函数的性质以及留数定理, 获得了该均值的渐近公式, 推广了 q (e) k (n) 在整数集 中的均值估计相关结果. 关键词: square-full 数;

留数定理;

除数问题;

Dirichlet 卷积;

均值 MR(2010) 主题分类号: 11E45 中图分类号: O156.4 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2017)04-0865-06

1 引言 整数 n >

1 有标准分解形式: n = pa1

1 pa2

2 ・ ・ ・ par r . 若满足 n = pa1

1 pa2

2 ・ ・ ・ par r , 其中 a1 ≥ k, a2 ≥ k,ar ≥ k, 则称正整数 n 为k-full 数, 当k=2时也称为 square-full 数. 令fk(n) 是k-full 数的特征函数, 即fk(n) = 1, n 是k-full 数;

0, 否则. 正整数 n = pa1

1 pa2

2 ・ ・ ・ par r 称为指数 k-full 数, 若所有的指数 a1, a2,ar 都是 k-full 数. 正整数 n = pa1

1 pa2

2 ・ ・ ・ par r 称为指数 k-free 数, 若所有的指数 a1, a2,ar 都是 k-free 数. 令q(e) k (n) 是指数 k-free 数的特征函数. 由T? oth [5] 可以知道, 函数 q (e) k (n) 是可乘的且对 每一素数幂 pa 有q(e) k (p) = q (e) k (p2 ) = q (e) k (p3 q (e) k (p2k ?1 ) = 1, q (e) k (p2k ) = 0. T? oth [5?6] 对该函数进行了研究并给出了其在整数上的均值估计 n≤x q (e) k (n) = Dkx + O(x1/2k δ(x) ), 这里 Dk = p

1 + ∞ 2k qk(a) ? qk(a ? 1) pa , ? 收稿日期: 2015-03-27 接收日期: 2015-10-28 基金项目: 南昌大学中国中部经济社会发展研究中心招标项目 (15ZBLPS06);

江西高校哲学社会科学研 究重大课题攻关项目 (ZDGG02);

教育部哲学社会科学发展报告培育项目 (13JBGP024). 作者简介: 杨丽 (1982C), 女, 山东临沂, 讲师, 主要研究方向: 应用数学.

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37 q (e) k (n) 是k-free 数的特征函数. 贺艳峰和孙春丽 [1] 也做了相关研究. 本文主要给出 square-full 数上 q (e) k (n) (k ≥ 3) 的均值估计, 得到 n≤x n is square?full q (e) k (n) = n≤x q (e) k (n)f2(n) 的渐近公式. 即得到下面的定理. 定理 当D>0时, 对k≥3, 有n≤x n is square?full q (e) k (n) = ζ(3

2 )G(1

2 ) ζ(3) x

1 2 + ζ(2

3 )G(1

3 ) ζ(2) x

1 3 +O x

1 6 exp ? D(log x)

3 5 (log log x)?

1 5 , 其中 G(s) = p 1?

1 p2ks ?

1 p(2k+1)s +

1 p(2k+3)s +

1 p(2k+4)s ?

1 p(2k+6)s ?

1 p(2k+7)s +・ ・ ・ 在s>18+时绝对收敛. 注 本文中, 表示一个任意小的的正常数, 在不同的式中不必相同.

2 定理的证明 为了证明定理, 需要以下的一些引理. 引理

1 设a, b 是整数, 且1≤a 2a. 证 本引理的证明见 Ivi? c 文[2] 中的第 14.3 节和定理 14.4. 引理

2 假设 f(n) 是算术函数, 满足 n≤x f(n) = l j=1 xaj Pj(log x) + O(xa ), n≤x |f(n)| = O(xa1 logr x), No.

4 杨丽等: 关于 square-full 数上的函数 q (e) k (n) 的均值估计

867 其中 a1 ≥ a2 al > 1/c > a ≥ 0, r ≥ 0, P1(t)Pl(t) 是关于 t 的次数不超过 r 的多项式, 并且 c ≥ 1, b ≥

1 是固定的整数. 如果 h(n) = dc|n ?(d)f(n/dc ), 那么 n≤x h(n) = l j=1 xaj Rj(log x) + Ec(x), 其中 R1(t)Rl(t) 是关于 t 的次数不超过 r 的多项式, 并且当 D >