PDF《2018 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案》

2018 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案 1.

已知 a 为正实数,且11()1xfxaa=?+是奇函数,则()fx的值域为_______. 解由()fx为奇函数可知

1 1

1 1 ,

1 1 x x a a a a? ? = ? + + + 解得

2 a = ,即11()221xfx= ? + , 由此得 ( ) f x 的值域为

1 1 ( , )

2 2 ? . 2. 设数列{ } n a 满足

1 1 1,

5 1 n n a a a + = = + ( 1,2, n = ?) ,则2018 n

1 n a = 解由111151515( )

4 4

4 4 n n n n n n a a a a a + + 所以

2019 2018

1 2

2018 2018

1 1

2018 5

2018 5

8077 (5

5 5 ) (5 1)

4 4

16 4

16 16 n n a = ∑ ? . 3. 已知 , α β

3 ,

4 π π ? ? ∈? ? ? ? , cos( ) α β + =

4 ,

5 sin

12 ,

4 13 π α ? ? ? = ? ? ? ? 则cos

4 π β ? ? + ? ? ? ? 解由,αβ3,4ππ??∈? ? ? ? , cos( ) α β + =

4 ,

5 得35sin( ) ,cos( )

5 4

13 π α β α + = ? ? = ? ,所以 cos

56 cos( )cos( ) sin( )sin( )

4 4

4 65 π π π β α β α α β α ? ? ? ? ? ? ? . 4. 在八个数字 2,4,6,7,8,11,12,13 中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数. 解在7,11,13 中任取一个整数与在 2,4,6,8,12 中任取一个整数构成既约分数,共有1135230 C C = 种;

在7,11,13 中任取两个整数也构成既约分数,共有

2 3

6 A = 中.合 计有

36 种不同的既约分数. 5. 已知虚数 z 满足

3 1

0 z + =,则2018

2018 1

1 1 z z z ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解32210(1)( 1)

0 1

0 z z z z z z 所以

2018 2018

2018 3

672 2

2 2

2018 3

1345 1

1 ( )

1 1

1 1

1 ( ) ( ) z z z z z z z z z z z + + + ? ? ? ? + = = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 6. 设10 AB = ??? ? . 若平面上点 P 满足, 对于任意t R ∈ , 有3AP t AB ? ≥ ??? ? ??? ? , 则PA PB ? ??? ? ??? ? 的最小值为_此时 + PA PB = ??? ? ??? ? 解由3AP t AB ? ≥ ??? ? ??? ? 可知点 P 到直线 AB 的距离为 3. 设AB 的中点为O .由极化恒等式得

2 2

2 2

1 1

1 2 )

10 } {36 100}

16 4

4 4 PA PB PA PB PA PB PO ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? . 此时 + PA PB = ??? ? ??? ? 6. 7. 在ABC 中,

7 AB AC + = , 且三角形的面积为 4, 则sin A ∠ 的最小值为______. 解由49

7 4 AB AC AB AC 又132

7 sin A

4 sin A ,

2 49

2 AB AC AB AC 时取等号. 8. 设()|1| | | |

2 | f x x x x 则(())

1 0 f f x + = 有_个不同的解. 解 因为 3,

1 1,

1 0 ( ) | 1| | | |

2 |

3 1,0

2 3,

2 x x x x f x x x x x x x x ? ? ≤ ? ? ? ? ? < ≤ ? ? ? < ≤ ? ? + > ? 由(())

1 0 f f x + = 得到 ( ) 2, f x = ? 或()0fx=.由 ( ) 2, f x = ? 得一个解

1 x = ? ;

由()0fx=得两个解

1 3,

3 x x = ? = ,共3个解. 9. 设,xyR∈满足

6 4 +12=0 x y x y ? ? ? ,则x的取值范围为 解由2264+12=0 ( 2) ( 3)

1 x y x y x y y .令222cos ,

3 sin (2 cos ) (3 sin ) x y y x θ θ θ θ

2 14

52 sin( )(sin )

13 θ ? ? = + + = ,所以14

2 13

14 2

13 x 10. 四面体 P ABC ? ,

6 PA BC = = ,

8 PB AC = = ,

10 PC AB = = ,则该 四面体外接球的半径为_ 解 将四面体还原到一个长方体中,设该长方体的长、宽、高分别为 , , a b c ,则22222222210

8 12

6 a b b c a b c a c ? + = ? ? ? + = ? ,所以四面体外接球的半径为

3 .

二、解答题 11. (本题满分

20 分)已知动直线l 与圆O :

2 2

1 x y + = 相切,与椭圆

2 2

1 9 x y + = 相交于不同的两点 , A B .求原点到 AB 的中垂线的最大距离. 解 依题意可设 : ( 0) l y kx m k = + ≠ . 因为直线l 与圆O 相切,所以,O 到直线l 的距离为 1,即211mk=+5分这样的直线必与椭圆交于不同的两点