PDF《2018 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案》

1 1

2 2 A x y B x y ,联立

2 2 ,

9 9

0 y kx m x y = + ? ? + ? = ? , 得222(1

9 )

18 (9 9)

0 k x kmx m ,得到

1 2

2 18

1 9 km x x k + = ? + . 所以 AB 的中点坐标为

2 2

9 ( , )

1 9

1 9 km m k k ? + +

10 分AB 的中垂线方程为

2 2

1 9 ( )

1 9

1 9 m km y x k k k ? = ? + + + ,化简得

2 8

0 1

9 km x ky k + + = + . O 到直线中垂线的距离

2 2

8 1

9 1 km k d k + = +

15 分将211mk=+代入

2 2

8 1

9 1 km k d k + = + ,得2819kdk=+.由均值不等式,

2 1

9 6 k k + ≥ ,故43d≤,当且仅当

1 3 k = 时取等号. 所以,当13k=,310 | | = m 时, 原点到 AB 的中垂线的最大距离为

4 3

20 分12.(本题满分

20 分)设a R ∈ ,且对任意实数b 均有

2 [0,1] max

1 x x ax b ∈ + + ≥ ,求a 的 取值范围. 解1设2()fxxax b = + + ,对于

1 (0)

1 b f ≥ ? ≥ , 所以只要考虑

1 b

5 分(1)当02a?≤时,即0, a ≥ 此时函数 ( ) f x 的最值在抛物线的左右端点取得,对 任意

1 b < 有(1)

1 (0) , f a b f b 所以 (1)

1 1 f a b 解得

1 a

10 分(2)当1022a