PDF《2019 年度湖南省自然科学奖提名公示》

2019 年度湖南省自然科学奖提名公示

一、项目名称 几类分数阶微分方程的数值方法与理论分析

二、提名单位意见 分数阶微分方程具有广泛的应用背景,能更好描述许多复杂过程和现象,其建 模、理论、计算、应用已成为众多领域的研究热点.

该项目针对几类典型分数阶微分方程理论和计算中的一些困难且重要的问题进 行了深入系统研究,主要科学贡献有:提出了空间分数阶 Schrodinger 方程的保持离 散质量的差分格式(国际上分数阶方程的第一个守恒格式),构造了同时保离散质 量和能量的差分格式,创建了离散空间分数阶嵌入不等式及格式的收敛性理论,为 分数阶量子系统长时间模拟提供了有效算法;

提出了弱意义下保能量辛可分 Runge-Kutta 方法,实质推进了 Hamilton 系统数值方法同时保辛结构和能量此公开 问题的解决;

创建了非线性时间分数阶泛函微分方程系统的长时间收缩性和耗散性 理论及分数阶 Halanary 不等式,首次获代数收缩、耗散率的精确估计,促进了分数 阶系统稳定性和长时间数值分析的研究,提供了有力工具;

提出了时间分布阶反常 扩散方程的基于有限差分和有限元的计算框架及一类变系数空间分数阶对流扩散方 程的加权差分格式;

系统发展了分数阶变分问题的分数阶变分积分子. 该项目成果突出,发表了一批高水平论文,科学上取得了重要进展,被国内外 同行所公认和广泛引用,产生了显著的学术影响.项目成果具有重要的理论和应用 价值,推动了计算数学学科的发展.学校已按要求对该项目进行了公示,公示期内 无异议. 提名该项目为湖南省自然科学奖二等奖.

三、项目简介 对于具有遗传记忆特征或长程效应的复杂过程和现象(如反常扩散),分数阶 微分方程通常比整数阶微分方程描述得更准确,因而引起了人们的关注和重视,其 建模、理论、计算已成为众多领域的研究热点,并广泛应用于多孔介质、软物质、 信号和图象、生物医学、控制等领域.但是,分数阶微分方程所具有的弱奇异性及 非局部特征: 长期历史记忆性或空间全域相关性, 给其理论和数值分析带来了挑战. 解的低正则性、巨大的计算量和存储量又使得高效和适于长时间计算的数值方法的 构造及分析十分困难.同时,分数阶微分方程同整数阶微分方程一样,也存在某些 守恒量(如质量、能量等),而对于长时间计算,保持这些守恒量及特性是很重要 的,我们首先关注到了这点. 项目针对分数阶微分方程数值方法(特别是守恒算法)及非线性时间分数阶系 统理论中一些困难且重要的问题,开展了广泛而深入的研究,主要创新点为: (1)提出了国际上求解分数阶方程的第一个守恒格式:空间分数阶 Schr?dinger 方程的保离散质量差分格式.针对空间分数阶 Schr?dinger 方程,进一步构造了同时 保持离散质量和能量的线性隐式差分格式,通过创建离散空间分数阶嵌入不等式获 得了格式的最大模收敛阶;

为分数阶量子力学系统长时间数值模拟提供了有效算法, 也使分数阶方程保结构数值方法成为研究热点之一. (2)提出了弱意义下保能量的辛可分 Runge-Kutta 方法,实质推进了 Hamilton 系 统数值方法同时保辛和保能量这一公开问题的解决. (3)创建了非线性时间分数阶泛函微分方程系统的收缩性和耗散性理论及分数 阶Halanary 不等式,并首次获得代数收缩率、耗散率的精确估计(与整数阶方程的 指数收缩率和耗散率具有本质差异;