PDF《第四章》

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第四章 数值积分与数值微分 ― Gauss 求积公式

2 本讲内容 ? 一般理论:公式,余项,收敛性,稳定性 ? Gauss-Legendre 求积公式 ? Gauss-Chebyshev 求积公式 ? 无限区间的 Gauss 求积公式 ? Gauss 求积公式

3 怎样构造更高精度的求积方法 考虑求积公式

0 ( )d ( ) n b i i a i f x x A f x = ≈ ∑ ∫ ? 含2n+2 个参数 (节点与系数),为了使该公式具有 尽可能高的代数精度,可将 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入公式,使其精确成立,则可构造出代数精度至 少为 2n+1 的求积公式! 自由选取求积节点!等分点不一定最佳!

4 举例 例:试确定节点 xi 和系数 Ai ,使得下面的求积公式具有尽 可能高的代数精度,并求出此求积公式的代数精度.

1 0

0 1

1 1 ( ) d ( ) ( ) f x x A f x A f x ? ≈ + ∫ 解:将f(x)=1, x, x2, x3 代入求积公式,使其精确成立,可得

0 1

0 0

1 1

2 2

0 0

1 1

3 3

0 0

1 1

2 0

2 /

3 0 A A A x A x A x A x A x A x + = ? ? + = ? ? + = ? ? + = ? 该公式对 f (x)=x4 不精确成立,故有

3 次代数精度!

1 1

3 3 ( )d

3 3 f x x f f ? ? ? ? ? ≈ ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫

0 1

0 1 1,

1 3

3 ,

3 3 A A x x = = ? ? ? = ? = ? ? 缺点:非线性方程组求解较困难!

5 Gauss 型求积公式 一般情形:考虑机械带权求积公式

0 ( ( ) ) d ( ) n b i i a i f x x A f x x ρ = ≈ ∑ ∫ 定义:若存节点在 xi ∈[a, b] 及系数 Ai ,使得上面的求积 公式具有 2n+1 次代数精度,则称节点 xi 为高斯点,Ai 为 高斯系数,求积公式为 高斯型求积公式 性质:上面的求积公式至多具有 2n+1 次代数精度 (将 代入验证即可) ∏ = ? = n i i x x x f

0 2 ) ( ) ( Gauss 求积公式在所有机械求积公式中代数精度最高

6 Gauss 点 问题:如何计算 Gauss 点xi 和 高斯系数 Ai 法一:解非线性方程组 太困难! ? 法二:分开计算 ? 先确定 Gauss 点?再通过解线性方程组计算 Gauss 系数

7 Gauss 点 定理:上面的插值型求积公式中的节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是Gauss点的充要条件是:多项式 与任意次 数不超过 n 的多项式 p(x) 都关于权函数 ρ(x) 正交,即10()()nniixxxω+==?∏1()())d0(bnapxxxxρω+=∫0))(d(()nbiiaifxxAfxxρ=≈∑∫证明: 板书 推论:设p0(x), p1(x), …, pn(x) , … 是[a, b] 上带权 ρ(x) 正交的 多项式族,则Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点!

8 计算 Gauss 点的一般方法 ? 求出 ωn+1(x) 的表达式 ? 计算其零点 与1, x, x2, ..., xn 带权正交 特殊情形: (1) [a, b]=[-1, 1], ρ(x)=1, 则Gauss 点即为 Legendre 多项式的零点 (2) [a, b]=[-1, 1], 则Gauss 点即为 Chebyshev 多项式的零点 ( )

1 2 ( )

1 x x ρ ? = ?

9 Gauss 系数的计算 例:试确定节点 xi 和系数 Ai ,使得下面的求积公式具有尽 可能高的代数精度.

1 0

0 1

1 0 ( ) d ( ) ( ) x f x x A f x A f x ≈ + ∫ ? 将f(x) = 1, x, x2, …, xn 代入,解方程 ? 或利用 Lagrange 基函数

10 余项公式 设p2n+1(x) 是f(x) 在节点 x0, x1, …, xn 上的 2n+1 次Hermite 插值多项式, 即21( ) ( ), n i i p x f x + =

2 1 n i i p x f x + = (2 2)

2 2

1 1

0 ( ) d (2 2)! n n b x i n i n a i f A p x x x x n ξ ρ ω + + + = = + + ∑ ∫ (2 2)

2 2

1 1 ( ) (2 2)! n x n n f f x p x x n ξ ω + + + = + + (2 2)

2 2

1 1 ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d (2 2)! n b b b x n n a a a f x f x x x p x x x x x n ξ ρ ρ ρ ω + + + = + + ∫ ∫ ∫ (2 2)

2 1 ( ) d (2 2)! n b n a f R f x x x n η ρ ω + + = a b η ∈