PDF《2019 数学全真模拟测试卷（数学三）》

10 分) (Ⅰ)设()gx在[0, ] ? 上连续,证明:

0 0 (sin ) (sin )

2 xf x dx f x dx ? ? ? ? ? ? ;

(Ⅱ)设()fx在[ , ] ?? ? 上连续,且2()()sin

1 cos x f x f x xdx x ? ? ? ? ? ? ? ,求()fx.(17 ) ( 本题满分10 分)设22()ufxy??具有二阶连续偏导数,且满足2222221uuuuxyxyxx???????????,试求函数u 的解析式. (18) (本题满分

10 分)设D是由

1 x ? ,

1 x ? ? ,

1 y ? 以及 y 轴围成的有界区域, 计算二重积分

2 2 ( )sgn( ) x D I x x ye y x dxdy ? ? ? ?? ,其中符号函数 1,

0 sgn 0,

0 1,

0 x x x x ? ? ? ? ? ? ?? ? ? . (19) (本题满分

10 分)求级数

2 4

6 2

1 1

1 1

1 2

3 4

5 6

2 (2 1) n x x x x n n ? ? ????? ???? ? ? ? ? 的 收敛域并求其和函数 ( ) s x . (20) (本题满分

11 分)设线性方程组

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

0 2

2 0

3 (2 ) (4 )

4 1 x x x x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 已知 (1, 1,1, 1)T ? ? 是该方程组的一个解,试求: (Ⅰ)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;

(Ⅱ)该方程组满足

2 3 x x ? 的全部解. (21) (本题满分

11 分) 已知二次型

2 2

2 1

2 3

1 2

3 1

2 2

3 4)

3 4

4 f x x x x a x x x x x x ? ? ? ? ? ? , 版权所有 翻版必究

4 中公学员内部专用 若二次型

1 2

3 ( , , ) f x x x 经正交变换 ? x Qy 化为标准型

2 2

2 1

2 3

5 by y y ? ? . (Ⅰ)求,ab的值;

(Ⅱ)求将二次型化为规范型所用的变换矩阵. (22) ( (本题满分

11 分) 设X为随机变量, 若行列式

1 1

0 1

2 0

0 1

1 x ? ? A 的概率为

1 2 , 已知

1 (0,2) Y U ? ,

2 1 (2, )

3 Y B ? ,

3 (0,1) Y N ? , 且X分别与

1 2

3 , , Y Y Y 独立, 随机变量 X 与123,,

YYY其中一个随机变量同分布. (Ⅰ)随机变量 X 与123,,

YYY中哪个随机变量同分布;

(Ⅱ)计算

2 2

2 1 X E X Y ? ? ? ? ? ? ? ;

(Ⅲ)求22ZXY??的分布函数. (23) (本题满分

11 分)设12,,

,nXXX??? 是来自总体

2 (0, ) X N ? ? 的一个简单随机样 本(其中 ??????? ? 为未知的参数) ,记11niiXXn???,2211()1niiSXXn?????.(Ⅰ)试求

2 ? 的最大似然估计量;

(Ⅱ)计算

2 2 (1 ) anX a S ? ? 的数学期望;

(Ⅲ)试确定常数 a ,使得

2 2 (1 ) anX a S ? ? 有最小方差.