PDF《概率论与数理统计第一章习题参考解答》

41 ) (

4 10

3 9

2 8

1 2

1 4 = + = ∴ A A A C C A P 错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列.

10、求10 人中至少有两人出生于同一月份的概率. 解:10 人中至少有两人出生于同一月份的概率为:

10 10

12 12 !

10 1 C ? =0.996

11、从5双不同的鞋中任取

4 只,求这

4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率. 解:从5双鞋中取

4 只,至少配成一双的概率为:

4 10

2 5

2 2

4 1

5 2 C C C C + 或410

4 4

5 2

1 C C ? 或410

2 5

2 8

1 5 C C C C ?

12、将3个球随机的放入

4 个杯子中,求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率. 解:杯中最多有一个球时,概率为

16 6

43 3

4 = A ;

杯中最多有两个球时,概率为

16 9

43 1

3 1

4 2

3 = C C C ;

杯中最多有三个球时,概率为

16 1

43 1

4 3

3 = C C ;

13、某货运码头近能容一船卸货,而甲乙两船在码头卸货时间分别为

1 小时和小时.设甲乙 两船在

24 小时内随时间可能到达,求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率. 解:设YX、 分别为甲乙两船到达的时刻 而甲到乙未到应满足

1 ≥ ? X Y 而乙到甲未到应满足

2 ≥ ?Y X 所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为

24 24

23 23

2 1

22 22

2 1

24 24 * * * ? * * ? * = P =0.8793

14、从区间(0,1)内任取两数,求这两个数的积小于 1/4 的概率. 解:设从区间(0,1)所取两数为 Y X、 要使

4 1 〈 XY ,

56 .

0 1

4 3

2 4

3 2

1 1 = * * * ? = π P 或者

2 ln

2 1

4 1

4 1

4 1

1 1

4 1 + = + * = ∫ dx x P

15、随机地想半圆 a x ax y (

2 0

2 ? <

<

为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概 率与区域的面积成正比,求从原点到该点的连线与 x 轴正向的夹角小于

4 π 的概率. 解:如图半圆区域为样本空间 S 对平方移项 (x-a)2+y2=a2 , 事件 与原点连线与 0x 轴的夹角小于

4 π 为AA为如图阴影部分(蓝色) 其中 π

2 2

1 ) ( a s m = ,

2 2

2 1

4 ) ( a a A m + = π ) ( ) ( ) ( s m A m A P = ∴ = π

1 2

1 +

16、已知 ( ) ( )

4 .

0 ,

3 .

0 = = B P A P , ( )

5 .

0 = B A P ,求()BABP∪解: ) ( ) ( ) ( B A P A P AB P ? = Q =0.7-0.5=0.2 ∴ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P AB P B A P AB P B A B P ? + = ∪ = ∪ =

5 .

0 6 .

0 7 .

0 2 .

0 ? + =0.25

18、三个人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为

4 1 ,

3 1 ,

5 1 .求密码被破译 的概率. 解:设 个人能破译 第i AI = ,则所求为 ) (

3 2

1 A A A P ∪ ∪ ) ( ) ( ) (

1 ) (

3 2

1 3

2 1 A P A P A P A A A P ? = ∪ ∪

6 .

0 4

3 3

2 5

4 1 = * * ? = 19:设有

4 张卡片分别标以数字 1,2,3,4,今从中任取一张.设A表示事件 取到标有

1 或2的卡片 ,B 表示事件 取到标有

1 或3的卡片 ,C 表示事件 取到标有

1 或4的卡 片 .验证 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P = = = , , ) ( ) ( ) ( ) ( ABC P C P B P A P ≠ 解:显然

2 1 ) ( ) ( ) ( = = = C P B P A P , ,

4 1 ) ( = AB P

4 1 ) ( = BC P , ,

4 1 ) ( = ABC P

4 1 ) ( ) ( ) ( ,

4 1 ) ( ) ( ) ( ,

4 1 ) ( ) ( ) ( = = = = = = ∴ C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P 而)(81)()()(ABC P C P B P A P ≠ =

20、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通 所需电话的概率. 解:设A= 在三次内能拨通电话 , = i A 第i次能拨通电话 i=1,2,3, 则321211AAAAAAA∪∪=)()()()(321211AAAPAAPAPAP++=)()()()()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP++=10