PDF《谷峰一类压缩映象的公共不动点定理_谷峰》

第5卷第

5 期2006 年9月杭州师范学院学报(自然科学版) Journal of Hangzhou Teachers College(Natural Science Edition) Vol .

5 No .

5 Sep .2006 收稿日期 : 2006\06\25 基金项目 : 浙江省自然科学基金项目(Y605191) ;

黑龙江省自然科学基金项目(A0211) ;

浙江省教育厅科研基金项目(20051897) . 作者简介 : 巨小维(1982 ― ) , 女,黑龙江鸡西人 , 硕士在读 .主要从事非线性泛函分析方面的研究 . 倡 通讯作者 : 谷峰(1960 ― ) , 男,辽宁沈阳人 , 教授 . 主要从事非线性泛函分析方面的研究 . 文章编号 :

1008 - 9403(2006)05 -

0382 -

05 一类压缩映象的公 共不动点 定理 巨小维 , 谷 峰倡 (杭州师范学院 数学系 , 浙江 杭州 310036) 摘要:利用度量空间中自映象对相容和次相容的条件 , 讨论了完备度量空间中一类压缩映象的公共不动 点的存在性与唯一性 , 得到一个新的公共不动点定理 . 关键词 :相容映象对 ;

次相容映象对 ;

压缩映象 ;

公共不动点 中图分类号 :O177 MSC2000 :47H10 ;

54H25 ;

55M20 文献标志码 :A

1 预备知识 定义

1 集合 X 上的自映象对( f , g) 称为是可交换的 , 如果 橙x∈X,有fgx = gf x . 定义2[1] 度量空间(X , d)上的自映象对(f , g)称为相容的 , 如果 橙{xn } 炒X,当fxn → x , gxn → x , x ∈ X 时,有d(f gxn , gf xn ) → 0(n → ∞ ) . 定义 3[2] 集合 X 上的自映象对( f , g) 称为是次相容的 , 如果 {t ∈ X ∶ f (t) = g(t)} 炒{t ∈ X ∶ f g(t) = gf (t)} . 注 由定义易知 , 可交换映象对必是相容映象对 , 而相容映象对也必是次相容映象对 , 但反之不真 .

2 主要结果 受文献[3]的启发 , 在此利用映象对相容 [3] 和次相容 [4] 的条件 , 讨论了完备度量空间中

4 个映象的一 类压缩映象 [4] 的公共不动点问题 , 获得 定理

1 设S,T,A,B是完备度量空间 X 上的

4 个自映象 , 且满足 i) SX 炒BX , TX 炒AX ;

ii) 橙x,y∈X,d(Sx , Ty ) ≤ h・ max d(Ax , By ) , d(Ax , Sx) ,d(By , Ty) ,

1 2 [d(Sx , By ) + d(Ax , Ty )] , 其中 h ∈ (0 , 1) . 如果以下条件之一被满足 , 则S,T , A , B 有唯一的公共不动点 . 1)S , A 之一连续 , 且(S , A) 相容 , (T , B) 次相容 ;

2)T , B 之一连续 , 且(S , A) 次相容 , (T , B) 相容 ;

3)A , B 之一为满射 , 且(S , A) 和(T , B) 都次相容 . 证明 任取 x0 ∈ X , 因SX 炒BX , TX 炒AX , 故存在 X 中的序列{xn } , {yn } 使得 y2 n = Sx2 n = Bx2 n+

1 , y2 n+

1 = Tx2 n+

1 = Ax2 n+

2 , n =

0 ,

1 ,

2 ,

3 … 事实上 , 由条件(ii) 可知 d(y2 n-1 , y2 n ) = d(Tx2 n-1 , Sx2 n ) = d(Sx2 n ,Tx2 n-1 ) ≤ h ・ max d(Ax2 n , Bx2 n-1 ) , d(Ax2 n , Sx2 n ) , d(Bx2 n-1 ,Tx2 n-1 ) ,

1 2 [d(Sx2 n , Bx2 n-1 ) + d(Ax2 n , Tx2 n-1 )] = h ・ max d(y2 n-1 , y2 n-2 ) , d(y2 n-1 , y2 n ) , d(y2 n-2 , y2 n-1 ) ,

1 2 [d(y2 n , y2 n-2 ) + d(y2 n-1 , y2 n-1 )] = h ・ max d(y2 n-1 , y2 n-2 ) , d(y2 n-1 , y2 n ) ,

1 2 d(y2 n , y2 n-2 ) . (1) 由式(1) 得d(y2 n-1 , y2 n ) ≤ h ・ d(y2 n-2 , y2 n-1 ) . 同理有 d(y2 n , y2 n+

1 ) ≤ h ・ d(y2 n-1 , y2 n ) , 从而 d(yn , yn+

1 ) ≤ h ・ d(yn-1 , yn ) , 于是 d(yn , yn+

1 ) ≤ h ・ d(yn-1 , yn ) ≤ h

2 ・ d(yn-2 , yn-1 ) ≤ … ≤ h n ・ d(y0 , y1 ) . 因为 h ∈ (0 , 1) , 所以{yn } 是X中的 Cauchy 列.由X的完备性知 , 存在 y 倡∈X,使lim n → ∞ yn = y 倡,{y2 n-1 } 和{y2 n } 均收敛于 y 倡,即Ax2 n = Tx2 n-1 = y2 n-1 = y 倡,Bx2 n+

1 = Sx2 n = y2 n = y 倡(n 2) 1)如果 A 连续 , 则{A