PDF《谷峰一类压缩映象的公共不动点定理_谷峰》

2 x2 n} 和{ASx2 n }均收敛于 Ay 倡,由式(2)以及(S , A)相容得 d(SA x2 n , ASx2 n ) → 0(n → ∞ ) , 从而 SA x2 n = Ay 倡(n → ∞ ) . 由条件(ii) 推出 d(SA x2 n , Tx2 n+

1 ) ≤ h ・ max d(A

2 x2 n , Bx2 n+

1 ) , d(A

2 x2 n , SA x2 n ) ,d(Bx2 n+

1 ,Tx2 n+

1 ) ,

1 2 [d(SA x2 n , Bx2 n+

1 ) + d(A

2 x2 n , Tx2 n+

1 )] , 上式中令 n → ∞ , 得到 d(Ay 倡,y倡)≤h・max d(Ay 倡,y倡),d(Ay 倡,Ay 倡),d(y 倡,y倡),12d(Ay 倡,y倡)+d(Ay 倡,y倡)=h・d(Ay 倡,y倡).又h∈(0 , 1) , 故d(Ay 倡,y倡)=0,即Ay 倡=y倡.再由条件(ii) 有d(Sy 倡,Tx2 n+

1 ) ≤ h ・ max d(Ay 倡,Bx2 n+

1 } , d(Ay 倡,Sy 倡),d(Bx2 n+

1 ,Tx2 n+

1 ) ,

1 2 [d(Sy 倡,Bx2 n+

1 ) + d(Ay 倡,Tx2 n+

1 )] , 上式中令 n → ∞ , 由Ay 倡=y倡可得 d(Sy 倡,y倡)≤h・max d(y 倡,y倡),d(y 倡,Sy 倡),d(y 倡,y倡),12[d(Sy 倡,y倡)+d(y 倡,y倡)] = h ・ d(y 倡,Sy 倡).易知 Sy 倡=y倡.又因为 SX 炒BX , 所以存在 u ∈ X , 使y倡=Ay 倡=Sy 倡=Bu . 而d(Bu , Tu) = d(Sy 倡,Tu) ≤ h・ max d(Ay 倡,Bu) , d(Ay 倡,Sy 倡),d(Bu , Tu) ,

2 杭州师范学院学报(自然科学版)

2006 年12[d(Sy 倡,Bu) + d(Ay 倡,Tu)] = h ・ d(Bu , Tu) , 故Bu = Tu . 又(T , B) 次相容 , 所以 Ty 倡=TBu = BTu = By 倡.同理由 d(y 倡,Ty 倡)=d(Sy 倡,Ty 倡)≤h・max d(Ay 倡,By 倡),d(Ay 倡,Sy 倡),d(By 倡,Ty 倡),12[d(Sy 倡,By 倡)+d(Ay 倡,Ty 倡)] = h・ d(y 倡,Ty 倡)可得 Ty 倡=y倡.于是 y 倡=By 倡=Ty 倡=Sy 倡=Ay 倡,即y倡是S,A,T,B的公共不动点 . 如果 S 连续 , 则{S

2 x2 n } 和{SA x2 n} 均收敛于 Sy 倡,由式(2) 以及(S , A) 的相容性得 d(SA x2 n , ASx2 n ) → 0(n → ∞ ) , 从而 ASx2 n = Sy 倡(n → ∞ ) . 由条件(ii) 有d(SSx2 n , Tx2 n+

1 ) ≤ h ・ max d(ASx2 n , Bx2 n+

1 ) , d(ASx2 n , SSx2 n ) , d(Bx2 n-1 ,Tx2 n+

1 ) ,

1 2 [d(SSx2 n , Bx2 n+

1 ) + d(ASx2 n , Tx2 n+

1 )] , 令n→∞得d(Sy 倡,y倡)≤h・ max d(Sy 倡,y倡),d(Sy 倡,Sy 倡),d(y 倡,y倡),12[d(Sy 倡,y倡)+d(Sy 倡,y倡)] = h ・ d(Sy 倡,y倡),即Sy 倡=y倡,由于 y 倡=Sy 倡∈SX 炒BX , 故愁v∈X,使y倡=Sy 倡=Bv . 又d(S

2 x2n , Tv) ≤ h・ max d(ASx2n , Bv} , d(ASx2n , S

2 x2n ) , d(Bv , Tv) ,

1 2 [d(S

2 x2n , Bv) + d(ASx2n , Tv)] , 令n→∞,由Sy 倡=Bv 得d(Sy 倡,Tv ) ≤ h ・ max d(Sy 倡,Bv ) , d(Sy 倡,Sy 倡),d(Bv ,Tv ) ,

1 2 [d(Sy 倡,Bv ) + d(Sy 倡,Tv )] = h・ d(Sy 倡,Tv ) , 即Sy 倡=Tv , 于是 y 倡=Sy 倡=Bv = Tv . 考虑到(T , B)的次相容性 , 有Ty 倡=TBv = BTv = By 倡.再由 d(Sx2n , Ty 倡)≤h・ max d(Ax2n , By 倡),d(Ax2n , Sx2n ) , d(By 倡,Ty 倡),12[d(Sx2n , By 倡)+d(Ax2n , Ty 倡)] 以及 By 倡=Ty 倡 推出 d(y 倡,Ty 倡)≤h・max d(y 倡,By 倡),d(y 倡,y倡),d(By 倡,Ty 倡),12[d(y 倡,By 倡)+d(y 倡,Ty 倡)] = h ・ d(y 倡,Ty 倡),即y倡=Ty 倡,而y倡=Ty 倡∈TX 炒AX , 故愁w∈X,使y倡=Ty 倡=Aw . 最后由 By 倡=Ty 倡=Aw 可得 d(Sw , y 倡)=d(Sw , Ty 倡)≤h・ max d(Aw , By 倡),d(Aw , Sw ) , d(By 倡,Ty 倡),12[d(Sw , By 倡)+d(Aw , Ty 倡]=h・d(Sw , y 倡),即y倡=Sw , 于是 y 倡=Aw = Sw . 由(S , A) 的相容性易知 Sy 倡=SA w = ASw = Ay 倡,故y倡=Sy 倡=Ay 倡=Ty 倡=By 倡,y倡是S,A,T,B的公共不动点 . 下证公共不动点的唯一性 . 设z是S,A,T,B的另一个公共不动点 , 则d(y 倡,z) = d(Sy 倡,Tz ) ≤ h ・ max d(Ay 倡,Bz ) , d(Ay 倡,Sy 倡),d(Bz ,Tz ) ,

3 第5期巨小维 , 等:一类压缩映象的公共不动点定理

1 2 [d(Sy 倡,Bz ) + d(Ay 倡,Tz )] = h ・ d(y 倡,z) . 即y倡=z,因此 y 倡是S,A,T,B的唯一公共不动点 . 2) 证明方法与 1) 类似 . 3) 不妨设 A 是满射 , 则对 y 倡∈X,存在 u ∈ X 使Au=y倡,由条件(ii) 得d(Su , Tx2 n+