PDF《谷峰一类压缩映象的公共不动点定理_谷峰》

1 ) ≤ h ・ max d(Au , Bx2 n+

1 ) , d(Au , Su) , d(Bx2 n+

1 ,Tx2 n+

1 ) ,

1 2 [d(Su , Bx2 n+

1 ) + d(Au , Tx2 n+

1 )] . 令n→∞,有d(Su , y 倡)≤h・max d(y 倡,y倡),d(y 倡,Su) , d(y 倡,y倡),12[d(Su , y 倡)+d(y 倡,y倡)] = h ・ d(Su , y 倡),(3) 即Su = y 倡,因而 Su = Au = y 倡.又(S , A)是次相容的 , 故Ay 倡=ASu = SA u = Sy 倡.以y倡代替式(3) 中的 u 可得 Sy 倡=y倡,于是 Ay 倡=Sy 倡=y倡.类似 1) 可证 y 倡是S,A,T , B 的唯一公共不动点 . 定理

1 证毕 . 推论

1 设(X , d)是完备度量空间 , { Ti }i ∈ I (I 是指标集 ,I 的势不小于 2)是X上的自映象族 , A , B是X上的自映象 , 若A,B,{Ti }i ∈ I 满足以下条件 : (i)Ti x 炒BX ,Ti x 炒AX ,橙i∈I;

(ii) 橙x,y∈X,i,j∈I,i≠j,有d(Ti x , Tj y) ≤ h ・ max d(Ax , By) ,d(Ax , Ti x ) , d(By , Tj y) ,

1 2 [d(Ti x , By ) + d(Ax ,Tj y)] , 其中 h ∈ (0 , 1) . 如果以下条件之一被满足 , 则A,B,{Ti }i ∈ I 在X中有唯一的公共不动点 . 1) Ti (i ∈ I) , A 之一连续且(Ti , A ) 相容 , (Ti , B) 次相容 ;

2) Ti (i ∈ I) , B 之一连续且(Ti , A) 次相容 , (Ti , B) 相容 ;

3) A , B 之一为满射且(Ti , A) 和(Ti , B) 都次相容 . 证明 对任意的 i ,j , m ∈ I , i ≠ j , i ≠ m , 由定理

1 知A,B,Ti , Tj 存在唯一的公共不动点 xij , A , B , Ti , Tm 存在唯一的公共不动点 xim , 而d(xij , xim ) = d(Ti xij , Tm xim ) ≤ h ・ max d(Axij , Bxim ) , d(Axij ,Ti xij ) , d(Bxim ,Tm xim ) ,

1 2 [d(Ti xij , Bxim ) + d(Axij , Tm xim )] = h ・ d(xij , xim ) . 所以 d(xij , xim ) =

0 , xij = xim , 由i,m的任意性即得 A , B , { Ti }i ∈ I 在X中存在唯一的公共不动点 . 定理2 设(X , d)是完备的度量空间 , A , B , { Ti }i ∈ I (I是指标集 , 势不小于2)分别是 X 上的自映象和 自映象族 , 且满足 橙i∈I,有Ti x 炒BX ,Ti x 炒AX , (Ti , A)和(Ti , B)均是可交换映象 . 若存在正整数 n , 使A,B,{Ti }i ∈ I 满足 : i) A , B , { Ti }i ∈ I 之一连续 ;

ii) 橙x,y∈x,i,j ∈ I , i ≠ j , 有d(T n i x , T n j y) ≤ h・ max d(Ax , By) , d(Ax , T n i x ) , d(By , T n j y) ,

1 2 [d(T n i x , By) + d(Ax ,T n j y)] , 其中 h ∈ (0 , 1) . 则A,B,{Ti }i ∈ I 在X中存在唯一的公共不动点 . 证明 对i,j ∈ I , (Ti , A) 和(Ti , B) 都是可交换映象 , 故对 i ,j ∈ I , (T n i , A)和(T n j , B)也是可交换 映象且均是相容映象 . 由定理

1 知Tn i , Tn j , A , B 在X中有唯一公共不动点 y 倡,即Tn i y 倡=Tn j y 倡=Ay 倡=By........