PDF《第六章 刚体力学》

第六章 刚体力学 §6.

1 概述 了解刚体运动的基本情况,包括自由度、运 动形式等.介绍处理刚体问题的基本思想. §6.2 刚体的定轴转动 掌握刚体定轴转动的运动规律, 掌握刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒.理解刚体 对某定轴的转动惯量的概念和计算方法.掌握刚体定轴转 动的动能定理. §6.3 刚体的平面平行运动 理解平面平行运动是平动与 转动的合成,掌握平面平行运动的基本的动力学方程,熟 练掌握刚体的二维平动与圆柱体的无滑滚动. §6.4 刚体的定点运动简析 定性分析刚体定点运动的状 况,理解回转效应和章动等运动表现. 一. 刚体的自由度 质点 实际物体(无穷多质元的质点系) 很多物体在运动过程中,大小、形状变化很微小,将 其绝对化地抽象为刚体, 各质元间距离保持不变. 自由度-- 为确定一个系统的几何位形所需独立变量的 个数.一个自由质点3个自由度,N个自由质点系3N个. (内)约束降低自由度.刚性双原子分子5个自由度. 刚体虽有无穷多质点,但约束的存在,使自由度大大降 低,最多6个. 常用3个移动+3个转动自由度. 采用3移+3转自由度,刚体动力学问题的基本方程是运 动定理. 二. 刚体的运动类型 由于外约束的存在,自由度更减少,复杂程度也不同. 常见以下几类: ? 平动 刚体中任一直线在运动中保持平行.各点运动 情况相同.最多3个自由度. ? 定轴转动 刚体中各点绕一根固定直线转动.与转轴 平行的直线上各点运动状况相同.只有1个自由度. ? 平面平行运动 刚体中各点运动都与某固定平面相平 行.该平面垂线上各点运动相同.最多3个自由度. ? 定点转动 始终绕一个固定点转动.最多3个自由度. 夺命 内轮差 ! 刚体的一般运动,可以看作刚体上(或其延拓)某一 基点的平动和绕此基点的定点转动.共6个自由度. 其中基点平动与基点的选择有关, 而绕基点的转动则与基点无关. 力是滑移矢量:施于刚体某点的作 用力,决不可以随便移到另一点去. 但是,该力可以沿着其作用线滑移, 其所起的力学作用完全不因此而改变. 重力、平动惯性力等效于作用于刚体的质心. 对于刚体,内力所作功的和为零. §6.2 刚体的定轴转动 一. 定轴转动运动学 在刚体上取一垂直于轴的截面,交点O为 原点,取定x轴.角坐标 ?.一维问题. 定轴运动方程 .角位移?? . 角速度 角加速度 由运动方程,微分可得角速度和角加速度;

反之,在初 始条件下,积分可得到运动方程. x ? z O P 刚体内某点的运动情况.该点与转轴的距离是? ,则 若在转轴上取一原点O ,质元位矢 利用角速度矢量 ,各点速度表示为 所以 切向 法向 x ? O z O P 二. 定轴转动的动力学方程 定轴转动一个自由度需一个方程.角动量定理 (其中M、 J均对定轴) 目前特点是各质元间距及对定轴的距离不变.且各点 有相同的角速度.角动量可写为 (ri到轴距离) 其中I是刚体对定轴的转动惯量.由质量及其分布决定, 对定轴是不变的.这样角动量定理写为 这是定轴转动的基本方程 . ,其中 可以视为质元mi对转轴 的转动惯量.ri是到轴距离! 三. 转动惯量的计算 对于质量连续分布的刚体,已知质量密度分布和形状, 利用积分可以求得对定轴的转动惯量 平行轴定理:刚体对某轴的转动惯量等于质心对该轴 的转动惯量加上刚体对过质心平行轴的转动惯量. O C mi 垂直轴定理:一个平面分布的质点 系对垂直平面z轴的转动惯量,等于 面内与z轴相交的两垂直轴的转动惯 量之和. 四. 角动量守恒 刚体对转动轴的角动量变化是 若对转动轴的力矩为零,则系统对转轴的角动量守恒 z x y 五. 转动动能 注意只是对转轴守恒,其它两个方向不一定守恒. 右图所示 x 、 y轴受力矩作用.轴承提供约束反力.动平衡. 定轴转动动能 m m x y z O 系统动能变化 其中对于刚体内力作功和为零 外力作功 所以 若仅保守力作功,仍有机械能守恒,Ek+Ep=const.. 在定轴转动的基本方程(角动量定理)中,没有涉及 轴上约束力的问题,因为轴上的力对定轴的力矩为零. 若要得到约束力,必须利用全套方程式,即动量定理 (质心运动定理). z mi 例:刚体可绕O点的轴转动,水平力F击打 P点, OP=l.为保持O点稳定,该对O点施 加多大的力? 解:对于O点的转动方程 为直观计,设.k是刚体对于O 轴的回转半径.上式写为 若O点静止,则质心C的加速度是 ,质心运动方程 ( rC是质心至支点的距离) 解得 当作用距离 时, f=0.该点称为打击中心. F f O C P §6.3 刚体的平面平行运动 一. 运动学 刚体内各点的运动轨迹平行于一固定平面,取平行于平 面的剖面为代表.两个平动自由度和一个转动自由度,转 轴始终垂直于平面. 刚体内各点的运动情况.首先选 择一基点A,其速度 (与基点有 关),同时刚体绕过A点垂直剖面 轴以与基点无关的 旋转.则剖面 上任意P点的速度为 该点的加速度 O x y A P 瞬时转动中心:任一时刻,刚体(内)存在一点O'