PPT《第十章 微分方程习题课（二）》

第十章 微分方程习题课

(二) 高阶微分方程

一、可降阶的高阶微分方程 1.

高阶微分方程的定义 2.可降阶的高阶微分方程类型 (1) (2) (3) 3.可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图 可降阶的高阶微分方程,是通过引入变量进行降阶,转化为成一阶微分方程,通过判定一阶微分方程的类型,求出通解.解题方法流程图如下图所示. 解题方法流程图 逐次积分 解一阶微分方程 解一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 特点:不显含 转化为一阶方程 特点:不显含 通解 Yes No 令令转化为一阶方程 4. 典型例题 【例1】求方程 的通解. 解:由于不显含 ,令 ,则 代入原方程整理得 即 因此 再积分一次,即得原方程的通解为: 此解可以写成 分析:此方程为可降阶的二阶微分方程,由于不显含 所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶微分微分方程,然后根据一阶微分方程的特点求解. 【例2】求方程 的通解. 分析:此方程为可降阶的二阶微分方程,由于不显含 所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶 一阶微分方程,然后根据一阶微分方程的特点求解. 解:由于不显含 ,令 ,则 代入原方程整理得 即 为一阶线性微分方程 利用公式得 即 积分得 分析:此方程为可降阶的二阶微分方程,由于不显含 所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶 微分方程,然后根据一阶微分方程的特点求解. 解:由于不显含 ,令 ,则 代入原方程整理得 所以 或当时,此方程为可分离变量的方程, 分离变量得: 【例3】求方程 满足初始条件 的特解. 积分得: 所以 即将代入得 ,从而 分离变量得: 将 代入得 所求方程的特解为: 特解为 ,含在 内. 当时,即 积分得

二、二阶常系数线性微分方程 1.定义 (1)二阶常系数线性齐次微分方程: (2)二阶常系数线性非齐次微分方程: 2.解的结构性质 (1)若和是齐次方程的解,则 是齐次方程的解. (2)若和是齐次方程的线性无关解,则 是齐次 方程的通解. (3)若 是齐次方程的通解, 是非齐次方程的特解, 则 是非齐次方程的通解. 和(4)若 分别是非齐次方程的特解,则 是非齐次 方程的特解. 3. 非齐次方程的解题方法 求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解,一般分为四步: 1)写出特征方程并求根;

2)求对应的齐次线性方程的通解 3)根据不同类型的自由项 ,利用待定系数法求出 一个特解 4)写出原方程的通解 . 解题方法流程图如下图所示. 解题方法流程图 特征方程: 有实根 的类型 混合型 对 分别求特解 令 k为特征方程含根 的重复次数 代入原方程,用待定系数法确定其参数 令 k为特征方程含根 的重复次数 通解 Yes Yes Yes No No No 求 通解 No

4、典型例题 【例4】已知 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解,求通解 及方程的表达式. 分析:由二阶线性非齐次微分方程解的结构,先求出 对应齐次方程,从而得出通解及方程的表达式. 解:因为 是对应齐次方程 的两个线性无关的特解,可知特征方程有两个根 ,特征方程为 对应齐次方程为: 对应齐次方程通解为: 又因为 是非齐次微分方程的特解,将其代入 有 所求的方程为: 通解为: 【例5】求方程 满足初始条件 的特解. 分析:此为二阶常系数非齐次线性微分方程,由解的结 构,先求出对应齐次的通解,再求出其本身的一个特解. 解:所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 它的特征方程 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 由于 是型(其中 ),且 不是特征方程根,所以应设特解 ,求出 把它们代入原方程,得 得非齐次方程的通解为 将初始条件 代入,有 解得 所求的特解为 【例6】求微分方程 的通解 解:所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 它的特征方程为 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 由于 是型(其中 ) 且 是特征方程的单根, 所以应设特解 解之,得 由此求得一个特解为 比较等式两边的系数,得 求出 把它们代入原方程,得 【例7】求微分方程 的通解 解:特征方程为 ,其根为 故齐次方程的通解为 (其中 ),因为 是特征方程根,所以应设特解 由于 是型代入原方程,解之得 故特解为 于是所求通解为 注:不能因为自由项只出现正弦项,而将 设为 .此例可理解为 的系数为0 . 【例8】求微分方程 的通解 解:特征方程为 ,其根为 故齐次方程的通解为 由于 根据特解结构原理,此方程的自由项 属于混合型,令 由于 是型(其中 ) 不是特征方程根,故可设 所以 ,求 代入原方程 中,则有 得 (其中 ),而 是特征方程根,故可设 又因为 是型求代入方程 中 ,解得 ,所以 于是原方程的通解为 【例9】求微分方程 的通解 解:特征方程为 ,其根为 故齐次方程的通解为 由于 属于混合型,可设特解为 代入原方程,并比较两边系数,得 所以原方程的通解为 从而 【例10】设 具有二阶连续函数,且 已知曲线积分 与积分路径无关,求 分析:曲线积分 与路径无关的充分必要条件是 .故应首先分别求出 和, 列出等式 建立关于函数 的微分方程,然后再根据初始条件求特解. 线积分与路径无关的条 解:因为曲线积分 与路径无关,所以根据曲 ,得 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 即 亦即 再由 ,可得特解 分析:此等式中含有积分上限函数,因此想到利用积分 【例11】设函数 连续,且满足 ,求 上限函数的性质,求导可建立微分方程,从而求解. 解:等式两边对 求导得 两边再对 求导得 即 为二阶线性非齐次微分方程,且 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 再由 ,可得特解