PPT《二项式定理》

当n是奇数时,中间的两项 相等,且同时取得最大值. 实质:数列的单调性与数列的最大项问题 二项式系数的性质 3.各二项式系数的和 4.在奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于: 重要方法:赋值法 5.二项式系数与某项系数的区别: 二项式系数是 ,某项的系数包括二项式系数和二项式中a,b系数及常数展出部分. 更多探究…… 从杨辉三角中一个确定的数的 左(右)肩 出发, 向右(左)上方作一条和左斜边平行的射线,在这条射线上的各数的和有何特征? (第r+1条斜线) 如图,写出斜线上各行数字的和,发现有什么规律? 1,1,2,3,5,8,13,21... , 著名的斐波那契数列. 二项式定理 几种常见题型 通项公式中含有a,b,n,r,Tr+15个元素,只要知道了其中的4个元素,就可以求出第5个元素,在求展开式中的指定项问题时,一般是利用通项公式,把问题转化为解方程(或方程组).这里必须注意隐含条件n,r均为非负整数且r≤n. 考点一 通项公式的应用 (1)求n;

(2)求含x2的项的系数;

(3)求展开式中所有的有理项. 已知在 的展开式中,第6项为常数项. 例1 【规律小结】 (1)对求指定项、常数项问题,常用待定系数法,即设第r+1项是指定项(常数项),利用通项公式写出该项,对同一字母的指数进行合并,根据所给出的条件(特定项),列出关于r的方程(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);

第二步是根据所求的指数,再求所求解的项;

(2)求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式一致. 例2 (1)二项式系数最大的项;

(2)系数的绝对值最大的项. 已知 的展开式的二项式系数和比 的展开式的二项式系数和大992,求 的展开式中: 变式:已知(n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1,(1)证明:展开式中没有常数项;

(2)求展开式中含 的项;

(3)求展开式中所有的有理项;

(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 课堂互动讲练 1.根据二项式系数的性质,n为奇数时中间两项的二项式系数最大,n为偶数时中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同,求展开式中系数最大项的步骤是:先假定第r+1项系数最大,则它比相邻两项的系数都不小,列出不等式组并求解此不等式组求得. 【规律小结】 求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n为奇数时中间两项,n为偶数时中间一项.设Tk+1的系数的绝对值为Ak+1,求系数绝对值最大的项,可通过解不等式组Ak+1≥Ak且Ak+1≥Ak+2求k值,继而可得到系数最大及最小的项,也可根据Ak+1/Ak与1的大小关系,通过单调性解之. 例3 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;

(2)a1+a3+a5+a7;

(3)a0+a2+a4+a6;

(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 变式: 若(2x+4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是( )A.1 B.-1 C.0 D.2 A 考点二 展开式中系数和问题 【规律小结】 对二项式展开式中系数、系数和问题,常用赋值法,一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0得常数项,令x=1可得所有项系数和,令x=-1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差,而当二项展开式中含负值项时,令x=-1则可得各项系数绝对值之和. 练习.若(n的展开式中各项系数之和为64,则 展开式的常数项为( )A.-540 B.-162 C.162 D.540 A 考点三 二项式定理的逆向应用 考点四 三项式、多项式问题 多项式问题的方法:①转化为二项式来展开;