PPT《第五章 李亚普诺夫稳定性分析》

第五章 李亚普诺夫稳定性分析 5.

1 几个稳定性概念5.2 李雅普诺夫稳定性理论5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用 5.1 几个稳定性概念 定义1 自治系统: 零输入作用的系统(1) 其中,x为n维状态向量,f(x,t)为n维向量函数. 定义2 受扰运动:系统状态的零输入响应. 定义3 平衡状态: 如果对于所有的状态总存在着一个状态满足 则称 为系统的平衡状态. ,且A非奇异,则原点是系统唯一 如果 的平衡状态, 称为 向量的欧氏范数 定义4 欧氏范数: 定义5 稳定 系统(1)中, 对 ,若 使得 时 ,有 则称 为李雅普诺夫意义下稳定的. 定义6 渐近稳定: 如果 是李雅普诺夫意义稳定的, 和 并且对于 总 使得 则称 是渐近稳定的. 定义7 一致稳定(渐近稳定): 若 的稳定性(渐近稳定)不依赖于 ,则称其 为一致稳定(渐近稳定). 图5.1(a)、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹. 定义9 不稳定: 对于某个实数 和 ,在超球域 内始终存在状态 ,使得从该状态开始的 受扰运动要突破超球域 定义8 大范围渐进稳定: 如果 是稳定的,而且从状态空间中所有初始条件出发的轨线都是渐进稳定的,则称这种平衡状态是大范围渐进稳定 定义10 正定函数: 1) 存在 2) 3)当时, 则称 是正定的(正半定的). 如果条件3)中不等式的符号反向,则称 是负定的(负半定的). 定义11 二次型函数: 设为n个变量,二次型函数定义为: 如果 ,则P为实对称阵. 例P为实对称阵,则必存在正交矩阵T,通过线性变换 为二次型函数标准型. 例5.1 1) 正定的 2)半正定的 3) 负定的 4) 半负定的 5)不定的 定义11 二次型: 塞尔维斯特(Sylvester)定理:为正定的充要条件是 的所有顺序主子行列式都是正的.如果 的所有主子行列式为非负的(其中有的为零),那么 为半正定的. 例5.2 证明下列二次型函数是正定的. 解:二次型 可以写为 , 因为 所以 5.2 李雅普诺夫第一方法 5.2.1线性系统的稳定判据 线性定常系统平衡状态 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部 注意:讨论系统的状态稳定性(内部稳定性)工程上注重输出稳定性 如果系统对于有界输入u引起的输出y是有界的,系统是输出稳定. 线性定常系统输出渐进稳定的充要条件是其传递函数:所有极点均在s左半平面. 例5.3系统状态空间表达式:试分析系统状态稳定性与输出稳定性解:A的特征方程: 特征值:系统不是渐进稳定的.系统传递函数:传递函数的极点系统输出稳定. 5.3 李雅普诺夫第二方法 预备知识:标量函数的符号性质 为n维矢量x所定义的标量函数,且在 处,恒有 .对任意x,如果:1)则 为正定的.2)则 为负定的.3)则 为半正定的.4)则 为半负定的.5)或 ,则 不定的 二次型标量函数 设为n个变量,定义二次型标量函数定义为: 如果 ,则P为实对称阵. P为实对称阵,则必存在正交矩阵T,通过线性变换 为二次型函数标准型,只包含变量的平方项.为P的互异特征值,且为实数.时, 为正定的 矩阵P的符号定义如下: 设P为 实对称阵,为P决定的二次型函数.1)正定,则P为正定的.2)负定,则P为负定的.3)半正定,则P为半正定的.4)半负定,则P为半负定的.矩阵P的符号性质与所对应的二次型函数 符号性质完全一致.判别 的符号只要判别P的符号即可. 希尔维斯特(Sylvester)判据:设实对称矩阵 为其各阶顺序主子行列式 或 定号性的充要条件是:1)若 ,则P为正定的.2)若则P为负定的3)若则P为半正定(非负)的.4)若则P为半负定(非正)的 定理1: 假设系统的状态方程为 如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 并且满足条件: 1) 是正定的;