PPT《第五章 李亚普诺夫稳定性分析》

2) 是负定的. 那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的. 5.3 李雅普诺夫第二方法几个判据 如果随着 有 则在原点处的平衡 状态 是大范围渐近稳定的. 定理2: 如果 并且对于任意 和 不恒等于零则系统在 原点渐近稳定. 定理:3: 如果 则原点不稳定 1)对于一个给定的系统,李雅普诺夫函数不是唯一的. 2)对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息. 3)关于稳定性的条件是充分的,而不是必要的. 4)若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳 定性方面的任何结论. 稳定性几点说明 5)李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性. 6)如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的,那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的. 例5.4 已知系统 试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性. 原点处是大范围渐近稳定的 解: 显然,原点 是唯一平衡点, 取 ,则 又因为当 时,有 所以系统在 例5.5 已知系统 试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性. 因为除原点处外, 不会恒等于零. 解: 系统具有唯一的平衡点 取则当时, 所以系统在其原点 处大范围渐近稳定. 例5.6 系统的状态方程为 试确定系统在其平衡状态的稳定性. 解: 系统具有唯一的平衡点 取则于是知系统在原点处不稳定. 5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用 5.3.1 稳定性分析 定理1: 系统在原点全局渐近稳定的 充要条件为方程 ,有唯一正定对称解. 证明:充分性:考虑系统 其中 令 如果 则 大范围渐近稳定. 必要性:略. 例5.7: 分析下列系统稳定性 解:令得则由 解上述矩阵方程,有 即得 因为 可知P是正定的.因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.