PPT《第二章初 等模型》

3 192.67(15) 661.5(8) 1768.17(6)

2 578.0(9) 1984.5(5) 5304.5(4)

1 序号

4 6

11 席位个数 96.45(20)

10 117.88(19)

9 147.35(17)

8 序号 上面的计算结果表明: 丙系最终保住了一个席位.

二、双层玻璃窗的功效 问题的提出 在北方城市的某些建筑中,玻璃窗是用双层玻璃构成的,并且两层玻璃之间还留有一定的空隙.其作用是减少热量的流失.假定玻璃窗的厚度为 ,今建立一个相应的数学模型来讨论这个问题,并与一个厚度为 的玻璃窗进行热量流失的比较. 墙墙热传导方向 墙墙模型假设 1.热量的传播过程中只有传导,没有对流,即假设窗户的密封性能很好,双层玻璃之间的空气是不流通的;

2.室内温度 和室外温度 保持不变,热传导过程处于稳定状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数;

3.玻璃材料均匀,热传导系数是常数. 建模 由假设,热传导过程遵从下面的物理定律: 厚度为 的均匀介质,两侧温度差为 ,则单位时间由温度高的一侧流过单位面积的热量 与 成正比,与 成反比,即⑴其中 为热传导系数. 记双层窗内层玻璃的外侧温度是 ,外层玻璃的内侧温度是 ,玻璃的热传导系数为 ,空气的热传导系数为 ,则由⑴式,单位时间单位面积的热量传导(热量流失)为⑵由此得到: 即: 再由 ⑶ 代入⑶式得: 移项整理后得: 所以: ⑷ 其中 再注意到,厚度为 的单层玻璃窗的热传导过程为 ⑸ 两者之比为 ⑹ 为了得到更进一步的结果,需要传导系数 的值.实验数据表明,常用玻璃的热传导系数为 不流动、干燥空气的热传导系数为 所以 取最保守的估计,即取 由⑷,⑹得⑺比值 反映了双层玻璃窗在减少热量流失上的功效.它只与 有关.下图给出了 曲线,当 上升时,迅速下降;

而当 到达一定值后,下降趣缓.由此可见, 不必过大. 模型应用 该模型具有一定的应用价值.尽管双层玻璃窗会增加制作工艺上的成本,但它在降低热量流失上的功效是相当可观的.通常,建筑规范要求 ,按照该模型,即双层玻璃窗比同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量约 左右.

三、四足动物的身材 问题的提出 如何根据四足动物的外部尺寸来估计它的重量? 要点:本模型是希望建立四足动物的躯干特征来估计其重量,而并不是研究其生理结构的特征. 模型假设 1.四足动物的躯干的外形为圆柱体;

2.躯干被架在四条腿上,把躯干看作简支弹性梁. 建模 设躯干的长度为 ,躯干截面(圆)的面积为 ,直径为 ,四足动物的质量为 ,体重为 ,由于体重的作用,躯干(弹性)的垂度(梁的最大挠度)为.由弹性力学知道: 又:所以 ⑴ 比值 是动物的相对下垂度. 太大,四肢将无法支 撑;

太小,无疑是一种浪费.因此,从生物学的角度 来说,因此对每一种动物而言, 已经达到最佳状态, 故可假设:相对下垂度 为常数.在该假设下有: ⑶ 在该假定之下,有 所以: 即:体重与躯干长度的4次方成正比.

四、汽车的刹车距离 问题的提出 美国的某些司机培训课程中有这样的规则: 正常驾驶条件下, 车速每增加10英里/小时, 后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的距离. 又云: 实现这个规则的一种简便方法是所谓 两秒准则 : 即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒后到达同一标志,而不管车速如何. 问题分析 制定这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上前车,即要保持汽车的刹车距离. 显然刹车距离与车速有关. 先看汽车在10英里/小时(约16km/h)的车速下两秒钟内汽车能行驶的距离: 所以,行驶距离用公制来表示为: 而这个距离远大于一个车身平均长度(15英寸=4.6m).所以 两秒准则 与上述规则并不一致. 为此,我们需要对刹车距离作仔细的分析. 注意到刹车距离是由反映距离和制动距离两部分构成的. 反映距离由反映时间和车速决定的,反映时间取决于司机个人的状态和制动系统的灵敏性,一般情况下,把它视为常数,且在这段时间内车速为常数. 制动距离与制动器作用力、车速、车重及道路、气候等因素有关. 设计制动器的一个合理原则是: 最大制动力与车的质量成正比,使汽车的减速度基本上是常数.基于以上分析,我们可以做这样的一些假设: 模型假设 1.刹车距离 等于反应距离 与制动距离 之和;