PPT《第二章初 等模型》

2.反应距离 与车速 成正比,比例系数为反应时间 ;

3.刹车时使用最大制动力 , 所做的功等于汽车动能的改变,且 与车的质量 成正比. 建模 由假设2, ⑴ 再由假设3,在力 作用下行驶距离 作的功 使车速从 变成 ,动能的变化为 ,即又由牛顿第二定律 再由上式得 ⑵ 其中 由假设1刹车距离为 ⑶ 为了将模型应用于实际,需要知道参数 的值. 取 的经验估计值 而 用曲线拟合来得到: 2.1 126.2

116 40 1.8 76.6 73.5

30 1.5

39 42

20 刹车时间 计算刹车距离 实际刹车距离 车速 4.3 444.8

464 80 3.6 347.1

343 70 3.0 261.4

248 60 2.5 187.8

173 50 刹车时间 计算刹车距离 实际刹车距离 车速 利用表中的数据及 得 ,于是 上表中的第三列的数据是由⑷式计算得到的,下图给 ⑷ 出了实际刹车距离与计算刹车距离的比较. 计算刹车距离 实际刹车距离 模型的应用 按照上述模型可以将所谓 2秒准则 修正为 秒准则 ,即后车司机可以从前车经过某一标志开始默数 后到达同一标志, 由下表给出:(单位:英里)

4 3

2 1 t秒60-80 40-60 10-40 0-10 车速

五、扬帆远航 问题的提出 北 风向 帆船 帆 海面上东风劲吹,帆船从 点驶向正东方的 点,为了借助风力,船应该先朝东北方向前进,然后再转向东南方,问题是如何选择起航时的航向 和帆的朝向 . 模型分析 帆船在航行过程中既受到风通过帆对船的推力,又受到风对船的阻力. 风的推力分解成 其中 与帆垂直,与帆平行. 又分解成 为风在航向上的推力, 风的阻力 分解成 其中 为风在航向上的阻力,因为 与 的方向正好相反,所以船受到的净推力为 由流体力学知道:在船速不大的情况下航速与净推力成正比. 于是当船的航向 与帆的朝向 确定之后,应该使船在正东方的速度,即图2 净推力在正东方向的分力达到最大. 图2 模型假设 记帆的迎风面积为 ,船的迎风面积为 , 1. 风通过对帆的推力 与 成正比,风对船体的阻力 与 成正比,比例系数相同;

2. 的分力 与帆面平行,可以忽略;

3.分力 和 垂直于船身,可以被船舵抵消,不予考虑;

4.航速 与净推力 成正比,比例系数为 建模 根据模型假设和图2中各个力之间的几何关系,得到 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 记船在正东方的速度分量为 则⑸则问题是确定 和 ,使 最大. 解模 该问题是一个二元函数的极值问题.由⑶, 与 无关,故首先在 固定时,使 最大,解出 ,然后再求 使 最大. 由⑵式⑹在⑹式对 求导, 并令其为令, 则有 得 此时 最大. 将上述结果代入到⑸式,得⑺⑻由⑴式,记⑼则⑻式为 ⑽ 由上式, 知当 时, 达到最大, 又即⑾因而有 从而有 结果分析 航向 角应在 和 之间(具体数值取决于 和 之比),帆的朝向 角为 的一半.这是 点出发时船的航向及帆的朝向. 行驶时点 将不在船的正东方,上述结论不再成立,此时,应不断调整 和 ,才能尽快达到 点.

六、量纲分析法 量纲分析法是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法.它通过物理定律中的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系,最终建立相应的数学关系,从而得到对应问题的数学模型. 许多物理量是有量纲的.有些物理量的量纲是基本的,我们把它们称为 基本量纲 ;

而某些量纲是由这些量纲组成的,因而把它们称为 复合量纲 . 基本量纲 时间量纲 长度量纲 质量量纲 复合量纲 速度量纲 加速度量纲 力的量纲 万有引力系数 上式说明:万有引力系数是一个有量纲的量. 无量纲的量记作 定理1 设 个物理量 间有关系式 ⑴ 其中 有基本量纲,而各量的量纲为由上述量纲表示的复合量纲,则关系式⑴可表示为 个无量纲 间的关系式 ⑵ 定理2 设 个物理量 间有关系式 又设有 个基本量纲 ,且所有的物理量 的量纲可表示为 ⑶ ⑷ 若矩阵 的秩为 ,则关系式⑶可表示为 ⑸ 其中 为无量纲的量,它们可表示为 ⑹ 而 是线性方程组 ⑺ 的基本解,其中 由以上两个定理可以看到:若假定各物理量间的关系式⑶的形式为 ⑻ 则量纲分析法所用的数学方法就是求解线性方程组. 由于式⑻两端的量纲必须相同,则有 ⑼ 例1 设质量为 的小球系在长度为 绳的一端,稍偏离平衡位置后,小球在重力的作用下做往复运动,求摆动周期 的表达式. 解 设在这个周期运动中各个量之间有下列关系: ⒀ 其中 是个无量纲的比例系数, 是重力加速度,为待定常数. 由于关系⒀两边的两量纲应该相等 故得 由基本量纲得 由此得关系式 该方程组的唯一解是 代入到⒀得 而我们知道正确的公式是 注意得是,上面两个公式仅有常数的差别.此说明在利用量纲分析法得到了所需要的关系之后,还要用实验数据来确定未知常数. 另外在例中的关系式中,小球的质量 没有出现,此说明周期与小球质量无关. 例2 速度为 的风吹在迎风面积为 的风车上,空气密度为 试用量纲分析法建立风车功率与 之间的关系. 解 设功率为 且 由功率的定义:所以 又由假设: 从而得到: 比较上两式即得: 即有:所以关系式为 例3 不可压缩粘滞流体在管道内的稳定流动问题. 解 在该问题中牵涉到的物理量有:管长 流速 流体密度 管道两端的压强差 和重力加速度 基本量纲是 其它的物理量纲有: 设粘滞系数为 则由定义 得 再假设这些物理量之间有关系 上式两边的量纲必须相同,即有: 由此得到方程组: 方程组的系数矩阵为 注意到三阶行列式 从而系数矩阵的秩为3,方程组有3个基本解: 由此获得三个关系式: 由定理2得 其中 在理论力学中分别被称为Reynold数和Froude常数.