PPT《一、平面曲线弧长的概念》

一、平面曲线弧长的概念

二、直角坐标情形 平面曲线的弧长

三、参数方程情形

四、极坐标情形

一、平面曲线弧长的概念 证: 作任意分割 : , 并设 , 分别对应 与, 且 于是与 对应地得到区间 的一个分割 在 上应用微分中值定理得 对 从而有 由 为一光滑曲线知, 与 是等价的.

又由 在 上连续从而可积, 因此由定义1,只需证明 记 则有 由三角不等式易证 又因 在 上连续,从而一致连续, 故当时, 只要 就有 于是有 例1计算曲线

2 3

3 2 x y = 上相应于 x 从a到b的一段 弧的长度 . 所求弧长为 解解第一象限部分的弧长 根据对称性 星形线的参数方程为 证 根据椭圆的对称性知 故原结论成立. 曲线弧为 极坐标情形 弧长 解解平面曲线弧长的概念

五、小结 求弧长的公式 弧微分的概念 极坐标系下 参数方程情形下 直角坐标系下 曲率 曲线弯曲的程度 . 再看同一条曲线 M1 M2 M3 曲率 曲线弯曲的程度 . M1 M2 M3 ?? 曲率 曲线弯曲的程度 . M1 M2 M3 ?? ???

1 与切线转角??成正比 曲率 曲线弯曲的程度 . A B B?

1 与切线转角??成正比 ?S?

2 与曲线弧长?S成反比 ?S 故定义曲线AB平均曲率 . . . ?? 曲线弯曲的程度 曲率 . = . A?