PPT《第四章》

第四章 数值积分与数值微分 §1 引言

一、数值积分的必要性 本章主要讨论如下形式的一元函数积分 在微积分里,按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数? 有解析表达式;

的原函数 为初等函数.

实际问题 1.的原函数 不能用初等函数表示 例如函数: 考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的. 假若要求波纹瓦长4英尺, 每个波纹的高度(从中心线)为1英寸, 且每个波纹以近似 英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需 铝板的长度L. 从到英寸间的弧长L. 这个问题就是要求由函数 给定的曲线, 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为: 上述积分称为第二类椭圆积分. What'

s the Original function?! It'

s so complex that we can not get it. 2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数: 并不复杂,但它的原函数却十分复杂: 3.没有解析表达式,只有数表形式:

1 4

2 3

4 5 4.5

6 8 8.5 原来通过原函数来计算积分有它的局限性.那……怎么办呢? 呵呵…这就需要积分的数值方法来帮忙啦.

二、数值积分的基本思想

1、定积分的几何意义

2、数值积分的理论依据 依据积分中值定理, 对于连续函数 , 在 内存在一点 ,使得 称 为区间 的平均高度.

3、求积公式的构造 ? 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度,则可得一点求积公式如下: 左矩形公式: 中矩形公式: 右矩形公式: 左矩形公式: 中矩形公式: 右矩形公式: ? 若取 两点,并令 ,则可得梯形公式(两点求积公式) 则可得Simpson公式(三点求积公式) ? 若取三点,并令 ? 一般地 ,取区间 内 个点 处的高度 通过加权平均的方法近似地得出平均高度 这类求积方法称为机械求积: 或写成: 数值积分公式 求积系数 求积节点 记 称为数值求积公式 称为求积公式余项(误差).

三、求积公式的代数精度

1、问题的提出 构造或确定一个求积公式,要讨论解决的问题有: (i) 确定求积系数 和求积节点 (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析. (ii) 判定求积公式精度的衡量标准;

称求积公式 具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:

2、定义 (i) 对所有次数≤m次的多项式 ,有(ii)存在m+1次多项式 ,使得 上述定义中的条件(i),(ii)等价于: §2 插值型求积公式

一、定义 在积分区间 上, 取 个节点 作的次代数插值多项式(拉格朗日插值公式): 则有 其中, 为插值余项. 于是有: 取Ak 由 节点 决定,与 无关. 称为插值型求积公式

二、截断误差与代数精度

1、截断误差

2、代数精度 推论 求积系数 满足: 形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 ? 该公式为插值型(即: 定理 §3 Newton-Cotes公式

一、Cotes系数 取节点为等距分布: 由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数: 令Cotes系数

二、Newton-Cotes公式

1、定义: 记则求积公式变为 称上式为n阶闭型Newton-Cotes求积公式. 注意: 由式 确定的 Cotes系数只与 和 有关, 与 和积分区间 无关, 且满足:

2、截断误差 Newton-Cotes公式的误差为: 与x有关

3、代数精度 作为插值型求积公式, 具有 次代数精度, 阶Newton-Cotes公式至少 而实际的代数精度是否可以进一步 提高呢? 定理 当阶数 为偶数时, Newton-Cotes公式至少具有 次代数精度. 证明: 只需验证当 为偶数时,Newton-Cotes公式对 的余项为零. 由于 ,所以 即得 引进变换 ,因为 为偶数,故 为整数, 于是有 据此可断定 ,因为上述被积函数是个奇函数.