PPT《第四章》

五、高斯型积分 构造具有2n+1次代数精度的求积公式 将节点 以及系数 都作为待定系数. 令 代入可求解, 得到的公式 具有 次代数精度. 节点称为Gauss 点 此公式称为Gauss 型求积公式 例:求的2点Gauss 公式. 解:设 ,应有

3 次代数精度. ? + ?

1 0

1 1

0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x 代入 f (x) = 1, x, x2, x3 不是线性方程组,不易求解. 定理: x0 … xn 为Gauss 点?与任意次数不大于n 的多项式 P(x) (带权)正交. 证明:? x0 … xn 为Gauss 点, 则公式 至少有 2n+1 次代数精度. 对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x), Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1,则代入公式应精确成立: =

0 0 ? 求Gauss 点?求w(x) 不大于 的多项式 精确成立,即证明: ? 要证明 为Gauss 点, 即要证公式对任意次数 设0??正交多项式族{ ?0, ?1, …, ?n, … }有性质:任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与?n+1 正交. 若取 w(x) 为其中的?n+1,则?n+1的根就是 Gauss 点. ? ?

5 3 - = a

0 ) (

1 0 = + ? dx a x x

0 ) , (

1 0 = j j ? ? = + + - ? = = + + ? =

1 0

2 1

1 0

2 1

0 0 ) )(

5 3 (

0 ) , (

0 ) (

0 ) , ( dx c bx x x x dx c bx x x j j j j

21 5

9 10 = - = c b 即: Step 1:构造正交多项式?2 设cbx x x a x x x + + = + = =

2 2

1 0 ) ( , ) ( ,

1 ) ( j j j 再解上例: ? + ?

1 0

1 1

0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x Step 2:求?2 =

0 的2个根,即为 Gauss 点x0 ,x1 Step 3:代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ,A1 解线性方程组,简单. 结果与前一方法相同: ? 利用此公式计算 的值 注:构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推式进行. ? 特殊正交多项式族: ① Legendre 多项式族:

1 ) ( ? x r 定义在[?1, 1]上, 满足: 由 有递推 以Pn+1 的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre 公式. ② Chebyshev 多项式族:

2 1

1 ) ( x x - = r 定义在[?1, 1]上, Tn+1 的根为 k = 0, …, n 以此为节点构造公式 称为 Gauss-Chebyshev 公式. 注意到积分端点 ?1 可能是积分的奇点,用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题.而Gauss公式可能避免此问题的发生. ? Gauss 公式的余项: 插值多项式的余项 /* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */ /*只要P 的阶数不大于2n+1,则下一步等式成立*/ Hermite 多项式! 什么样的插值多项式在 上有 阶? Hermite 多项式的插值条件为: 插值余项为 其中, 与 有关. Hermite求积公式的余项 ........