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* 《高等代数》数学系 汪仲文wangzw@kstc.

edu.cn 2013-2014学年第二学期 第7章 线性空间与线性变换Linear Space and Linear Transformation 主要内容 Macro1 引入

第四节 线性空间的同构(Isomorphism) Macro1 定义 Macro1 同构映射的性质 Macro1 同构的充分必要条件 Macro1 举例

一、引入 设?1 , ?2 , … , ?n 是线性空间 V 的一组基,在 这组基下, V 中每个向量都有确定的坐标,而向 量的坐标可以看成 F n 的元素. 因此,向量与它的 坐标之间的对应实质上就是 V 到Fn的一个映射. 显然,这个映射是单射与满射,换句话说,坐标 给出了线性空间 V 与Fn的一个双射. 这个对应的 重要性表现在它与运算的关系上. 设?=a1?1 + a2?2 + … + an?n , ? = b1?1 + b2?2 + … + bn?n . 即向量 ? , ? 的坐标分别是( a1, a2, ... , an ) , ( b1, b2, … , bn ), 那么 ? + ? = (a1+ b1)?1 + (a2+ b2)?2 + … + (an+ bn) ?n , k? = ka1?1 + ka2?2 + … + kan?n . 于是向量 ? + ? , k? 的坐标分别是 ( a1+ b1 , a2+ b2 , … , an+ bn ) = ( a1, a2, ... , an ) + ( b1, b2, … , bn ), ( ka1, ka2, ... , kan ) = k( a1, a2, ... , an ) . 以上的式子说明在向量用坐标表示之后,它 们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性 空间 V 的讨论也就可以归结为 F n 的讨论. 为了确 切地说明这一点,先引入下列定义.

二、定义 定义

7 数域 F 上两个线性空间 V 与V?称为同构的,如果由 V 到V?有一个双射 ? , 具有以 下性质: 1) ? (? + ? ) = ? (? ) + ? (? ) ;

2) ? (k? ) = k? (? ) , 其中 ? , ? 是V中任意向量,k 是F中任意数. 这 样的映射 ? 称为同构映射. V 与V?同构,记作 前面的讨论说明在 n 维线性空间 V 中取定一组 基后,向量与它的坐标之间的对应就是 V 到Fn的一个同构映射. 因而,数域 F 上任一个 n 维线性空 间都与 F n 同构.

三、同构映射的性质 由定义可以看出, 同构映射具有下列基本性质: 1. ? (

0 ) =

0 , ? ( - ? ) = - ? (? ) . 的2) 中分别取 k =

0 , -1 即得. 2. ? (k1?1+ k2?2 + … + kr?r ) = k1? (?1) + k2? (?2) + … + kr? (?r) . 在 定义

7 中的 1) 与2) 结合的结果. 这是定义

7 3. V 中向量组 ?1, ?2 , … , ?r 线性相关的充分 必要条件是,它们的像 ? (?1) , ? (?2) , … , ? (?r) 线性相关. 证明 先证必要性. 设?1, ?2 , … , ?r 线性相 关,即有不全为零的数 k1 , k2 , … , kr 使k1?1+ k2?2 + … + kr?r =

0 . 由性质 1,得?(k1?1+ k2?2 + … + kr?r )= ? (0) =

0 , 再由性质 2,得k1? (?1) + k2? (?2) + … + kr? (?r) =

0 . 由此即得 ? (?1) , ? (?2) , … , ? (?r) 线性相关. 再证充分性. 设?(?1) , ? (?2) , … , ? (?r) 线性 相关,即有不全为零的数 k1 , k2 , … , kr 使k1? (?1) + k2? (?2) + … + kr? (?r) =

0 . 于是有 ? ( k1?1+ k2?2 + … + kr?r ) =

0 , 由于 ? 是 双射,只有 ? (0) = 0,所以 k1?1+ k2?2 + … + kr?r =

0 . 即?1, ?2 , … , ?r 线性相关. 证毕 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数, 所以由同构映射的性质可以推知,同构的线性空间 有相同的维数. 4. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积 还是同构映射. 证明 设?是线性空间 V 到V?的同构映射, 显然逆映射 ? -1 是V?到V的一个双射. 下面来证 ? -1 也是同构映射,即?-1 满足定义7中的条件1) , 2) . 令??,??是V?中任意两个向量,于是 ? ? -1 (? ? + ? ? ) = ? ? + ? ? = ? ? -1 (? ? ) + ? ? -1 ( ? ? ) = ? (? -1 (? ? ) + ? -1 ( ? ? ) ) . 即??-1 (? ? + ? ? ) = ? (? -1 (? ? ) + ? -1 ( ? ? ) ) . 两边用 ? -1 作用,即得 ? -1 (? ? + ? ? ) = ? -1 (? ? ) + ? -1 ( ? ? ) . 条件 2) 可以同样地证明. 现设 ? 和?分别是线性空间 V 到V?和V?到V?? 的同构映射,我们来证乘积 ?? 是V到V?? 的 一个同构映射. 显然, ?? 是单射与满射. 由Macro1 ?? (? + ? ) = ? ( ? (? ) + ? (? ) ) = ?? (? ) + ?? (? ) , ?? (k? ) = k?? (? ) 看出, ?? 还适合定义7中的条件1) , 2),因而 是同构映射. 证毕 因为任一线性空间 V 到自身的恒等映射显然 是一同构映射,所以性质