PDF《数学杂志》

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2018 ) No.

2 数学杂志J. of Math. (PRC) 零级 Dirichet 级数的增长性及其 Dirichlet-Hadamard 乘积 崔永琴, 周凤麟, 徐洪焱 (景德镇陶瓷大学信息工程学院, 江西 景德镇 333403) 摘要: 本文研究了全平面上零级 Dirichlet 级数的增长性的问题. 利用复级数理论, 进一步讨论 了在两种条件下 Dirichlet 级数的 Dirichlet-Hadamard 乘积的增长性, 获得了零级 Dirichlet 级数及其 Dirichlet-Hadamard 乘积涉及对数级与对数型的几个关系定理, 推广了孔荫莹等人的结果. 关键词: 对数级;

对数型;

Dirichlet 级数;

Dirichlet-Hadamard 乘积 MR(2010) 主题分类号: 30B50 中图分类号: O174.55 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2018)02-0345-08

1 引言及相关结果 考虑 Dirichlet 级数 f(s) = ∞ n=0 aneλns , (1.1) 其中 {an} 是复数列,

0 <

λn ↑ ∞, s = σ + it (σ, t 是实变量). 当级数 (1.1) 满足 lim sup n→∞ log n λn = 0, lim sup n→∞ log |an| λn = ?∞. (1.2) 这时, 根据文 [1C2] 的Valiron 公式可得级数 (1.1) 的收敛横坐标及绝对收敛横坐标都是 +∞, 那么其和函数 f(s) 在全平面内解析, 即为整函数. 记f(s) 的最大模, 最大项为 M(σ) = M(σ, f) = sup{|f(σ + it)| : t ∈ R}, m(σ) = m(σ, f) = max{|an|eλnσ : n ∈ N? }. 定义 1.1 [3] 若f(s) 是满足 (1.2) 式的整函数, 那么 f(s) 的级 ρ 定义为 ρ = lim sup σ→+∞ log log M(σ, f) σ . (1.3) 若ρ=0, 级数 (1.1) 是全平面上的零级 Dirichlet 级数. 此时定义该级数 (1.1) 的对数级 ρ? 为ρ? = lim sup σ→+∞ log log M(σ, f) log σ , (1.4) ? 收稿日期: 2016-12-30 接收日期: 2017-06-20 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(11561033;

71763013);

江西省自然科学基金项目(20151BAB201008);

江西省教育厅科技项目 (GJJ160914;

GJJ191603) 和景德镇陶瓷大学科研资助项 目. 作者简介: 崔永琴 (1984C), 女, 江西景德镇, 讲师, 主要研究方向: 复分析及其应用. 通讯作者: 徐洪焱.

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38 当ρ? ∈ (1, +∞) 时, Dirichlet 级数的对数型 T? 如下 T? = lim sup σ→+∞ log M(σ) σρ? . (1.5) 关于整函数的增长性的问题, Hardy、余家荣、孙道椿、高宗升等已经得到了许多经典的 结论 [1?2,4?6] . Sayyed, Metwally [7] 讨论了泰勒级数的对数级, 而对复平面上的零级 Dirichlet 级数增长性的研究较少.

2006 年, 田宏根、 孙道椿、 郑承民在相对较宽的条件下, 对该问题进 行深入的研究并得到了由系数表示的零级 Dirichlet 级数的对数级的结果. 定理 A [3] 若f(s) 是满足 (1.2) 式的整函数, 则ρ? =

1 + lim sup n→∞ log λn log log |an|?1 ? log λn . (1.6) 本文将继续研究了零级 Dirichlet 级数的对数型, 得到如下结果. 定理 1.1 若f(s) 是满足 (1.2) 式的整函数, 则T? = (ρ? ? 1)ρ? ?1 (ρ?)ρ? T, (1.7) 这里 T = lim sup n→∞ λn (

1 λn log |an|?1)ρ??1 .

2009 年, 孔荫莹在文 [9C10] 构造了 Dirichlet-Hadamard 乘积并得到了有限级及无穷级 Dirichlet 级数在该乘积下的增长性的相关结果.

2015 年, 崔永琴等在文 [11] 构造了新型的 Dirichlet-Hadamard 乘积进一步推广了文 [9, 10] 的结果. 然而, 对于零级 Dirichlet 级数的 Hadamard 乘积的增长性并未有人涉及. 本文将主要考 察零级 Dirichlet 级数的 Dirichlet-Hadamard 乘积的对数级与对数型, 在介绍主要结果前, 我 们先给出如下 Dirichlet-Hadamard 乘积定义. 定义 1.2 [11] 若f1(s) = ∞ n=1 aneγns , f2(s) = ∞ n=1 bneξns 且f1(s), f2(s) 是满足 (1.2) 式的 整函数. 若α, β 为两个实常数满足