PDF《数学杂志》

0 <

α, β <

∞, 构造它们的 Dirichlet-Hadamard 乘积如下 F(s) = (f1?f2)(?, v;

α, β;

s) = ∞ n=1 cneλns , cn = a? nbv n, λn = αγn + βξn, (1.8) 其中 ? 和v是正实数;

{an}, {bn} ? C,

0 <

γn, ξn ↑ ∞. 注当α=β=12,则定义 1.2 中的 Dirichlet-Hadamard 乘积 F(s) 即为孔荫莹的 Dirichlet-Hadamard 乘积 G(s), 即G(s) = (f1?f2)(?, v;

s) = ∞ n=1 cneλns , cn = a? nbv n, λn = γn + ξn

2 . 定理 1.2 若f1(s), f2(s) 是满足 (1.2) 式的整函数, 它们的对数级分别为 ρ?

1 和ρ? 2, 且γn ? ξn (n → ∞), (1.9) No.

2 崔永琴等: 零级 Dirichet 级数的增长性及其 Dirichlet-Hadamard 乘积

347 则Dirichlet-Hadamard 乘积 F(s) 的对数级 ρ? 满足 ρ? ≤ min{ρ? 1, ρ? 2}. 特别地, 当ρ? = ρ?

1 时, F(s) 的对数型 T? 满足 T? ≤ ? ? ? ? ? ? ?

1 (ρ? 1)ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ? )ρ?

1 ?1 , ρ?

1 <

ρ? 2,

1 (ρ? 1)ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ? + v )ρ?

1 ?1 , ρ?

1 = ρ? 2. 推论 1.1 若f1(s), f2(s) 是满足 (1.2) 式的整函数, 它们的对数级分别为 ρ?

1 和ρ? 2, 且满 足(1.9) 式, 则其 Dirichlet-Hadamard 乘积 G(s) 的对数级 ρ? 满足 ρ? ≤ min{ρ? 1, ρ? 2}. 特别地, 当ρ? = ρ? 1, G(s) 对数型 T? 满足 T? ≤ ? ? ? ? ? ? ?

1 (ρ? 1)ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ? )ρ?

1 ?1 , ρ?

1 <

ρ? 2,

1 (ρ? 1)ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ? + v )ρ?

1 ?1 , ρ?

1 = ρ? 2. 接下来, 在放宽条件的前提下进一步讨论 Dirichlet-Hadamard 乘积形式的增长性, 得到 如下结果. 定理 1.3 若f1(s), f2(s) 是满足 (1.2) 式的整函数, 它们的对数级分别为 ρ?

1 和ρ? 2, 且γn = ηξn, (1.10) 则其 Dirichlet-Hadamard 乘积 F(s) 的对数级 ρ? 满足 ρ? ≤ min{ρ? 1, ρ? 2}. 特别地, 当ρ? = ρ? 1, F(s) 对数型 T? 满足 T? ≤ ? ? ? ? ? ? ? ( αη + β ηρ1 )ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ? )ρ?

1 ?1 , ρ?

1 <

ρ? 2, ( αη + β ρ?

1 )ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ?ηρ?

1 + v )ρ?

1 ?1 , ρ?

1 = ρ? 2. 推论 1.2 若f1(s), f2(s) 是满足 (1.2) 式的整函数, 它们的对数级分别为 ρ?

1 和ρ? 2, 且 满足 (1.10) 式, 则其 Dirichlet-Hadamard 乘积 G(s) 的对数级 ρ? 满足 ρ? ≤ min{ρ? 1, ρ? 2};

当ρ? = ρ? 1, G(s) 对数型 T? 满足 T? ≤ ? ? ? ? ? ? ? ( η +

1 2ηρ?

1 )ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ? )ρ?

1 ?1 , ρ?

1 <

ρ? 2, ( η +

1 2ρ?

1 )ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ?ηρ?

1 + v )ρ?

1 ?1 , ρ?

1 = ρ? 2.

2 若干引理 引理 2.1 [11] 若f1(s), f2(s) 是满足 (1.2) 式的整函数, 且满足 (1.9) 式, 那么其 Dirichlet- Hadamard 乘积 F(s) 是整函数. 引理 2.2 若f1(s), f2(s) 是满足 (1.2) 式的整函数, 且满足 (1.10) 式, 那么其 Dirichlet- Hadamard 乘积 F(s) 是整函数.

348 数学杂志Vol.

38 证lim sup n→∞ log n λn = lim sup n→∞ log n αγn + βξn ≤

1 α lim sup n→∞ log n γn = 0, 又lim sup n→∞ log |cn| λn = lim sup n→∞ ? log |an| + ν log |bn| αγn + βξn ≤ lim sup n→∞ ? log |an| αγn + βξn = ?∞. 所以其 Dirichlet-Hadamard 乘积 F(s) 是整函数. 引理 2.3 若a, b (b >

1) 是一正的常数, x 是任一正实数, 那么函数 ψ(σ) = aσb ? xσ (?∞ <

σ <

+∞) 在σ=(xab )

1 b?1 时达到最小值 a( x ab ) b b?1 ? x( x ab )

1 b?1 . 证由ψ(σ) = abσb?1 ? x, 令ψ(σ) =

0 解得 σ = ( x ab )

1 b?1 . 可验证当 σ = ( x ab )

1 b?1 时ψ(σ) 取得最小值 a( x ab ) b b?1 ? x( x ab )

1 b?1 . 引理 2.4 若a, b (b >