PDF《数学杂志》

1) 是一正的常数, σ 是任一实数, 那么函数 ?(x) = ?1 a xb + σx 在x=(aσ b )

1 b?1 时达到最大值 ?1 a (aσ b ) b b?1 + σ(aσ b )

1 b?1 . 证由?(x) = ? b a xb?1 + σ, 令?(x) =

0 解得 x = (aσ b )

1 b?1 . 可验证当 x = (aσ b )

1 b?1 时?(x) 达到最大值 ?1 a (aσ b ) b b?1 + σ(aσ b )

1 b?1 .

3 定理的证明 定理 1.1 的证明 先证 T? ≥ T (ρ? ?1)ρ??1 (ρ?)ρ? . 由T? 的定义知, ?ε >

0, 有充分大的 σ 使log M(σ) σρ? <

T? + ε, 从而 log |an| <

(T? + ε)σρ? ? λnσ. 由引理 2.3 知, 取σ=(λn (T ?+ε)ρ? )

1 ρ??1 , 则log |an| <

(T? + ε)[( λn (T? + ε)ρ? )

1 ρ??1 ]ρ? ? λn( λn (T? + ε)ρ? )

1 ρ??1 = λ ρ? ρ??1 n

1 [(T? + ε)ρ?]

1 ρ??1

1 ? ρ? ρ? . 所以 λn (

1 λn log |an|?1)ρ??1 <

λn (

1 λn λ ρ? ρ??1 n )ρ??1 ( ρ? ρ? ?

1 )ρ? ?1 (T? + ε)ρ? = (ρ? )ρ? (ρ? ? 1)ρ??1 (T? + ε). 由ε的任意性知 T ≤ (ρ? )ρ? (ρ? ? 1)ρ??1 T? . 假设等号不成立, 即存在 T1 使得 T <

T1 <

(ρ? )ρ? (ρ??1)ρ??1 T? , 于是存在 N1 >

0, 当n>

N1 时, λn (

1 λn log |an|?1)ρ??1 <

T1, No.

2 崔永琴等: 零级 Dirichet 级数的增长性及其 Dirichlet-Hadamard 乘积

349 即|an| <

e?λ ρ? ρ??1 n T ?

1 ρ??1

1 . 由(1.2) 式知存在一常数 M, N2 >

N1, 使得 n >

N2 时有 λn >

M log n, 于是 M(σ, f) ≤ N1 n=1 |an|eλnσ + N2 N1+1 |an|eλnσ + ∞ N2+1 |an|eλn+1σ , (3.1) 其中 N1 n=1 |an|eλnσ 为有界量, N2 N1+1 |an|eλnσ ≤ N2 N1+1 e?λ ρ? ρ??1 n T ?

1 ρ??1

1 eλnσ = N2 N1+1 e?λ ρ? ρ??1 n T ?

1 ρ??1

1 +λnσ , 由引理 2.4 知, 取λn = (σ(ρ? ?1) ρ? )ρ? ?1 T1, 有N2 N1+1 |an|eλnσ ≤ N2e T1 (ρ??1)ρ??1 (ρ?)ρ? σρ? . (3.2) 再由 (1.2) 式知 λn+1 ≤ (1 + ε)λn, 对所有的 n ∈ N+ 成立, 记λn >

T1((1 + ε)σ +

2 M )ρ? ?1 . 所以∞N2+1 |an|eλn+1σ ≤ ∞ N2+1 e?λ ρ? ρ??1 n T ?

1 ρ??1

1 eλn+1σ ≤ ∞ N2+1 e(λn+1?(1+ε))σ?λn

2 M ≤ ∞ N2+1

1 n2 . (3.3) 由(3.1)C(3.3) 式知, 对充分大的 σ 有log M(σ, f) σρ? ≤ T1 (ρ? ? 1)ρ? ?1 (ρ?)ρ? (1 + o(1)). 从上式得到 T? ≤ T1 (ρ? ?1)ρ??1 (ρ?)ρ? 与假设矛盾, 故T=(ρ? )ρ? (ρ??1)ρ??1 T? , 定理 1.1 得证. 定理 1.2 的证明 由定理 A 可知 ?ε >

0, 存在两个正整数 N1, N2, 当n>

N=max{N1, N2} 时, 有log γn log(

1 γn log |an|?1) <

ρ?

1 ?

1 + ε, log ξn log(

1 ξn log |bn|?1) <

ρ?

2 ?

1 + ε, 即log |an|?1 >

γnγ

1 ρ?

1 ?1+ε n , log |bn|?1 >

ξnξ

1 ρ?

2 ?1+ε n . 由cn 的定义有 log |cn|?1 = ? log |an|?1 + v log |bn|?1 >

?γnγ

1 ρ?

1 ?1+ε n + vξnξ

1 ρ?

2 ?1+ε n , (3.4)

350 数学杂志Vol.

38 则log λn log(

1 λn log |cn|?1) <

log λn log(?γn λn γ

1 ρ?

1 ?1+ε n + v ξn λn ξ

1 ρ?

2 ?1+ε n ) = log λn ρ?

1 +ε ρ?

1 ?1+ε log γn + log(? + v ξn γn ξ

1 ρ?

2 ?1+ε n γ

1 ρ?

1 ?1+ε n ) ? log λn . 由于 λn = αγn + βξn, γn ? ξn (n → ∞), 可得 log γn ? log ξn ? log λn (n → ∞). 由引理 2.1 知F(s) 是整函数, 不妨设 ρ?

1 <

ρ? 2, 又由 ε 的任意性, 得ρ? =

1 + lim sup n→∞ log λn log(

1 λn log |cn|?1) ≤

1 +

1 ρ?

1 ρ?

1 ?1 ?

1 = ρ? 1, 所以 ρ? ≤ min{ρ? 1, ρ? 2}. 特别地, 当ρ? = ρ? 1, 由定理 1.1 可知 (ρ?

1 ? 1)ρ?

1 ?1 (ρ? 1)ρ?

1 λn (

1 λn log |cn|?1)ρ?

1 ?1 <

(ρ?

1 ? 1)ρ?