PDF《数学杂志》

1 ?1 (ρ? 1)ρ?

1 λn (?γn λn γ

1 ρ?

1 ?1+ε n + v ξn λn ξ

1 ρ?

2 ?1+ε n )ρ?

1 ?1 = (ρ?

1 ? 1)ρ?

1 ?1 (ρ? 1)ρ?

1 λn

1 λ ρ?

1 ?1 n γ ρ?

1 +ε ρ?

1 ?1+ε (ρ?

1 ?1) n (? + v ξn γn ξ

1 ρ?

2 ?1+ε n γ

1 ρ?

1 ?1+ε n )ρ?

1 ?1 . 若ρ?

1 = ρ? 2, 由ε的任意性可得 T? ≤ (ρ?

1 ? 1)ρ?

1 ?1 (ρ? 1)ρ?

1 1 (? + v)ρ?

1 ?1 . 若ρ?

1 <

ρ? 2, 则有 T? ≤ (ρ?

1 ? 1)ρ?

1 ?1 (ρ? 1)ρ?

1 1 ?ρ?

1 ?1 , 故定理 1.2 得证. 定理 1.3 的证明 类似于定理 1.2 的证明: ?ε >

0, 存在两个正整数 N1, N2, 当n>

N=max{N1, N2} 时有 log |cn|?1 = ? log |an|?1 + v log |bn|?1 >

?γnγ

1 ρ?

1 ?1+ε n + vξnξ

1 ρ?

2 ?1+ε n . 由γn = ηξn, 有γn = η αη+β λn, ξn =

1 αη+β λn. 于是

1 λn log |cn|?1 >

λ

1 ρ?

1 +ε?1 n [?( η αη + β ) ρ?

1 +ε ρ?

1 +ε?1 + v(

1 αη + β ) ρ?

2 +ε ρ?

2 +ε?1 λ

1 ρ?

2 +ε?1 ?

1 ρ?

1 +ε?1 n ]. No.

2 崔永琴等: 零级 Dirichet 级数的增长性及其 Dirichlet-Hadamard 乘积

351 由引理 2.2 知F(s) 是整函数, 不妨设 ρ?

1 <

ρ? 2, 又由 ε 的任意性, 得ρ? =

1 + lim sup n→∞ log λn log(

1 λn log |cn|?1) ≤

1 + lim sup n→∞ log λn

1 ρ?

1 +ε?1 log λn + log[?( η αη+β ) ρ?

1 +ε ρ?

1 +ε?1 + v(

1 αη+β ) ρ?

2 +ε ρ?

2 +ε?1 λ

1 ρ?

2 +ε?1 ?

1 ρ?

1 +ε?1 n ] ≤

1 +

1 1 ρ?

1 ?1 = ρ? 1. 所以 ρ? ≤ min{ρ? 1, ρ? 2}. 特别地, 当ρ? = ρ? 1, 由定理 1.1 可知 (ρ?

1 ? 1)ρ?

1 ?1 (ρ? 1)ρ?

1 λn (

1 λn log |cn|?1)ρ?

1 ?1 <

(ρ?

1 ? 1)ρ?

1 ?1 (ρ? 1)ρ?

1 λn {λ

1 ρ?

1 +ε?1 n [?( η αη+β ) ρ?

1 +ε ρ?

1 +ε?1 + v(

1 αη+β ) ρ?

2 +ε ρ?

2 +ε?1 λ

1 ρ?

2 +ε?1 ?

1 ρ?

1 +ε?1 n ]}ρ?

1 ?1 . 若ρ?

1 = ρ? 2, 由ε的任意性可得 T? ≤

1 (ρ? 1)ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ?( η αη+β ) ρ?

1 ρ?

1 ?1 + v(

1 αη+β ) ρ?

1 ρ?

1 ?1 )ρ?

1 ?1 = ( αη + β ρ?

1 )ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ?ηρ?

1 + v )ρ?

1 ?1 . 若ρ?

1 <

ρ? 2, 则有 T? ≤ ( αη + β ηρ?

1 )ρ?

1 ( ρ?

1 ?

1 ? )ρ?

1 ?1 . 故定理 1.3 得证. 参考文献[1] Hardy G H, Riesz M. The general theory of Dirichlet series[M]. New York: Stechert-Hafner, Inc, 1964. [2] 余家荣, 丁晓庆, 田范基. Dirichlet 级数与随机 Dirichlet 级数的值分布 [M]. 武汉: 武汉大学出版社, 2004. [3] 田宏根, 孙道椿, 郑承民. 平面上的零级 Dirichlet 级数 [J]. 系统科学与数学, 2006, 26(3): 270C276. [4] 高宗升. Dirichlet 级数表示的整函数的增长性 [J]. 数学学报, 1999, 42(4): 741C748. [5] 高宗升, 孙道椿. 无限级随机 Dirichlet 级数的值分布 [J]. 数学年刊, 1993,

14 (6): 677C685. [6] 贺隆贞. 关于狄里克莱级数确定的整函数........