PDF《第八章 层次分析法》

1 = . 定义

1 若矩阵 n n ij a A * = ) ( 满足 (i)

0 >

ij a , (ii) ij ji a a

1 = ( n j i , ,

2 ,

1 , = ) 则称之为正互反矩阵(易见

1 = ii a , n i , ,

1 = ). 关于如何确定 ij a 的值,Saaty 等建议引用数字 1~9 及其倒数作为标度.下表列出 了1~9 标度的含义: 标度 含义135792,4,6,8 倒数 表示两个因素相比,具有相同重要性 表示两个因素相比,前者比后者稍重要 表示两个因素相比,前者比后者明显重要 表示两个因素相比,前者比后者强烈重要 表示两个因素相比,前者比后者极端重要 表示上述相邻判断的中间值 若因素i 与因素 j 的重要性之比为 ij a ,那么因素 j 与因素i 重要性 之比为 ij ji a a

1 = . 从心理学观点来看,分级太多会超越人们的判断能力,既增加了作判断的难度, 又容易因此而提供虚假数据. Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判 断结果的正确性,实验结果也表明,采用 1~9 标度最为合适. -91- 最后,应该指出,一般地作

2 )

1 ( ? n n 次两两判断是必要的.有人认为把所有元素 都和某个元素比较,即只作

1 ? n 个比较就可以了.这种作法的弊病在于,任何一个判 断的失误均可导致不合理的排序,而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以 避免的.进行

2 )

1 ( ? n n 次比较可以提供更多的信息,通过各种不同角度的反复比较, 从而导出一个合理的排序. 1.3 层次单排序及一致性检验 判断矩阵 A 对应于最大特征值 max λ 的特征向量W ,经归一化后即为同一层次相 应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序. 上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰,较客观地反映出一 对因子影响力的差别.但综合全部比较结果时,其中难免包含一定程度的非一致性. 如果比较结果是前后完全一致的,则矩阵 A 的元素还应当满足: ik jk ij a a a = , n k j i , ,

2 ,

1 , , = ? (1) 定义

2 满足关系式(1)的正互反矩阵称为一致矩阵. 需要检验构造出来的(正互反)判断矩阵 A 是否严重地非一致,以便确定是否接 受A.定理

1 正互反矩阵 A 的最大特征根 max λ 必为正实数,其对应特征向量的所有分 量均为正实数. A 的其余特征值的模均严格小于 max λ . 定理

2 若A为一致矩阵,则(i) A 必为正互反矩阵. (ii) A 的转置矩阵 T A 也是一致矩阵. (iii) A 的任意两行成比例,比例因子大于零,从而

1 ) ( rank = A (同样, A 的 任意两列也成比例) . (iv)A 的最大特征值 n = max λ , 其中 n 为矩阵 A 的阶.A 的其余特征根均为零. (v) 若A的最大特征值 max λ 对应的特征向量为 T n w w W ) , , (

1 = , 则jiij w w a = , n j i , ,

2 ,

1 , = ? ,即??????????????????=nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA 212221212111定理

3 n 阶正互反矩阵 A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根 n = max λ ,且当正 互反矩阵 A 非一致时,必有 n >

max λ . 根据定理 3,我们可以由 max λ 是否等于 n 来检验判断矩阵 A 是否为一致矩阵.由-92- 于特征根连续地依赖于 ij a ,故max λ 比n大得越多, A 的非一致性程度也就越严重, max λ 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出 } , , {

1 n x x X = 在对因素 Z 的影响中所占的比重.因此,对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验,以 决定是否能接受它. 对判断矩阵的一致性检验的步骤如下: (i)计算一致性指标CI