PDF《2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学》

4 小题,每小题

5 分. 13.若,满足约束条件 ,则 的最大值为_ 【答案】

6 解析: 画出可行域如下, 目标函数 , 最大, 即截距最大, 最优解为 , 14.记 为数列 的前 项和,若 ,则 【答案】 -63 解析: , , , 为等比数列, , 15.从 位女生, 位男生中选 人参加科技比赛, 且至少有 位女生入选, 则不同的选法共有_种. (用数字填写答案) 【答案】

16 解析: 16.已知函数 ,则 的最小值是_

7 /

12 【答案】 解析: 即: 从而: 由 的图像可知, 在 上小于 0,在 大于

0 故

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分

12 分) 在平面四边形 中, 求;

若,求 . 【答案】(1) ;

(2) 解析: (1)由正弦定理得 , (2) 18. (本小题满分

12 分) 如图,四边形 为正方形, 分别为 的中点,以 为折痕把 折起,使点 到达 点 的位置,且.(1)证明:平面 平面 ;

(2)求 与平面 所成角的正弦值. 【答案】 (1)见解析;

(2) 解析:(1)证明: 分别为 中点,

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12 又,四边形 为长方形 又(2)解:过点 作 ,垂足为 , 由(1)知, , , 连接 ,则 为所求. 设正方形边长为 ,则,,

设长为 ,则则,,

在中,有 从而 , 解之得: 所以 19. (本小题满分

12 分) 设椭圆 的右焦点为 ,过 的直线 与 交于 两点,点 的坐标为 . (1)当与轴垂直时,求直线 的方程;

(2)设 为坐标原点,证明: . 【答案】 (1) 或;

(2)见解析 【解析】 (1)由题意有 ,从而 , 从而, ,

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12 所以 或者 (2)设 ,联立 ,消去 ,得: 从而, , 又将和代入上式,有 所以, , 所以, 20. (本小题满分

12 分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱

200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格 品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取

20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有 产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 ,且各件产品是否为不合格品相互独立. 记20 件产品中恰有

2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 现对一箱产品检验了

20 件,结果恰有

2 件不合格品,以(1)中确定的 作为 的值.已知每件产品的检 验费用为

2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付

25 元的赔偿费用. 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ,求;

以检验费用与赔偿费用的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 【答案】 (1) ;

(2) () ;

()应该检验 【解析】 (1)由题意, , 即 ,又 , 当时, ,当时, , 即在上单调递增,在 上单调递减,当时, 取得最大值. (2)()由题意,设 赔偿费用为 ,则 满足 二项分布,即 .所以

10 /

12 , ()若检验剩余的全部产品,则费用 ,故应该检验剩余的全部产品. 21.(本小题满分

12 分) 已知函数 . (1)讨论 的单调性;

(2)若 存在两个极值点 ,证明: . 【答案】见解析 【解析】解: (1)定义域为 , , 令 ,得 , ①当时, ,所以 ,故,所以 在 上单调递减;

②当时, , 易得 在,上单调递减, 在 上单调递增;

(2)由题意得 ,且,是方程 的两个根, 所以: ①, ② 要证: ,即证: , 即证: ③,

11 /

12 将①②代入③化简得: ,即,,

即证 , 令,,

则 , 所以 在 上单调递减,所以 ,故 得证. 请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分