PDF《金融经济学习题解答》

金融经济学习题解答 王江 (初稿,待修改.

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2006 年8月第第第2章章章基基基本 本 本框 框 框架 架架2.1 U(c) 和V(c) 是两个效用函数,c ∈ Rn +,且V(x) = f(U(x)),其中 f(・) 是一正单调 函数.证明这两个效用函数表示了相同的偏好. 解解解. 假设 U(c) 表示的偏好关系为 ,那么 ? c1, c2 ∈ RN + 有U(c1) ≥ U(c2) ? c1 c2 而f(・) 是正单调函数,因而 V (c1) = f(U(c1)) ≥ f(U(c2)) = V (c2) ? U(c1) ≥ U(c2) 因此 V (c1) ≥ V (c2) ? c1 c2,即V(c) 表示的偏好也是 . 2.2* 在1期,经济有两个可能状态 a 和b,它们的发生概率相等: a b 考虑定义在消费计划 c = [c0;

c1a;

c1b] 上的效用函数: U(c) = log c0 +

1 2 (log c1a + log c1b) U(c) =

1 1?γ c1?γ

0 +

1 2

1 1?γ c1?γ 1a +

1 1?γ c1?γ 1b U(c) = ?e?ac0 ?

1 2 e?ac0 + e?ac0 证明它们满足:不满足性、连续性和凸性. 解解解. 在这里只证明第一个效用函数,可以类似地证明第

二、第三个效用函数的性 质. (a) 先证明不满足性.假设 c ≥ c ,那么有 c0 ≥ c0, c1a ≥ c1a, c1b ≥ c1b 而log(・) 是单调增函数,因此有 log(c0) ≥ log(c0), log(c1a) ≥ log(c1a), log(c1b) ≥ log(c1b) 因而 U(c) ≥ U(c ),即cc.2第2章基本框架 (b) 现在证明连续性.令{c(n)}∞

1 为R3 中一个序列,且limn→∞ c(n) = c.对于 ? ε >

0, ? δ,当|ci ? ci |≤ δ 时我们有 | log(ci) ? log(ci) |<

ε

3 , i = 0, 1a, 1b;

对于δ,? N 使得当 n ≥ N 时, c(n) ? c = (c0 ? c (n)

0 )2 + (c1a ? c (n) 1a )2 + (c1b ? c (n) 1b )2 <

δ 因而 | U(c(n)) ? U(c) |<

ε,故limc(n)→c U(c(n)) = U(c). (c) 最后证明凸性.假设 U(C) >

U(C ),那么 log(c0) +

1 2 log(c1a) +

1 2 log(c1b) >

log(c0) +

1 2 log(c1a) +

1 2 log(c1b) 对于 ? α ∈ (0, 1), U(αC + (1 ? α)C) = log(αc0 + (1 ? α)c0) +

1 2 log(αc1a + (1 ? α)c1a) +

1 2 log(αc1b + (1 ? α)c1b) ≥ α(log(c0) +

1 2 log(c1a) +

1 2 log(c1b)) + (1 ? α)(log(c0) +

1 2 log(c1a) +

1 2 log(c1b)) = αU(C ) + (1 ? α)U(C) >

U(C ) 故凸性成立. 2.3 U(c) = c ?

1 2 a c2 是一可能的效用函数,其中 c ∈ R+,a 是非负的系数.U(c) 具有不 满足性吗?如果不,那么 a 取什么值和/或c在什么范围内时 U(c) 具有不满足性? 解解解. 不一定.比如当 a =

1 时,U(1

2 ) =

3 8 <

U(1) =

1 2 >

U(3) = ?1.5.U(c) 不具有 不满足性.当a=0时,U(c) = c 具有不满足性;

当a>

0时,当c∈[0,

1 a ] 时U(c) 具有不满足性. 2.4 考虑一个经济,它在

1 期有三个可能状态:a,b 和c: a b c 证券市场包括证券

1 和2,它们具有如下的支付向量:X1 = [1;

1;

1] 以及 X2 = [1;

2;

3].它们的价格分别为 S1 和S2. (a) 描述这个经济的支付空间. (b) 写出这个经济的市场结构矩阵 X. (c) 考虑含有 θ1 单位的证券

1 和θ2 单位的证券

2 的组合.写出这个组合的支付向 量.这个组合的价格是多少? c 王江 金融经济学

3 (d) 假设这个市场中总共有 K 个参与者.每个参与者的禀赋是

1 单位的证券

1 和2单位的证券 2.这时的市场组合是什么?市场组合的支付向量是什么?市场组 合的总价值是多少? (e) 写出市场化支付的集合. (f) 如果市场不允许卖空.市场化支付的集合是什么? (g) 现在引入新的证券 3,它的支付向量为 X3 = [0;

0;

1].写出新的市场结构矩 阵.在这个市场结构下,市场化支付集合是什么? 解解解. (a) 这个经济的支付空间是 R3;