PDF《科别：数学科》

4 n 值 原图形(三角形数) 移动结果(平行四边形数=宽*长) 最少移动个数 ∑ =

6 1 i i =21 ∑ =

5 1 i i =15 (36=4*9) ∑ =

4 1 i i =10

8 2∑ =

2 1 i i =6 B BB BBB BBBB BBBBB BBBBBB BBBBBBB BBBBBBBB B BB BBB BBBB BBBBB BBBBBB BBBBBBB BBBBBBBB B BB BBB BBBB BBBBB BBBBBB BBBBBBB BBBBBBBB B BB BBB BBBB BBBBB BBBBBB BBBBBBB BBBBBBBB BBBBBB BBBBBB BBBBBB BBBBBB BBBBBB BBBBBB (36=6*6) (36=3*12) (36=2*18)

5 根厦嬷贫绞 , 我们从 n≥

9 开始只列出最少移动个数后所排成之平行四边形 (或菱形)的 宽*长 ,并将 n 分成奇数及偶数表列如下: (表二) n 值 三角形数=平行四边形数 =宽*长 最少移动个数

9 45=5*9 ∑ =

4 1 i i =10

11 66=6*11 ∑ =

5 1 i i =15

13 91=7*13 ∑ =

6 1 i i =21

15 120=10*12 ∑ =

5 1 i i +∑ =

3 1 j j =21

17 153=9*17 ∑ =

8 1 i i =36

19 190=10*19 ∑ =

9 1 i i =45 …. … …

49 1225=35*35 2∑ =

14 1 i i =210

10 55=5*11 ∑ =

5 1 i i =15

12 78=6*13 ∑ =

6 1 i i =21

14 105=7*15 ∑ =

7 1 i i =28

16 136=8*17 ∑ =

8 1 i i =36

18 171=9*19 ∑ =

9 1 i i =45

20 210=14*15 ∑ =

6 1 i i +∑ =

5 1 j j =36 … … …

24 300=15*20 ∑ =

9 1 i i +∑ =

4 1 j j =55 …. … …

50 1275=25*51 ∑ =

25 1 i i =325 由实做所得的资讯,我们体认到: 「将三角形数移成平行四边形数」的问题,等价於 「 ( )

2 1 + n n = b a * 」因数分解的形式(其中, b a ≤ ,a 、b 均为 ( )

2 1 + n n 之因数) .而6且我们更发现到最少移动棋子的方法是由 ( )

2 1 + n n 正因数所 分布 的情形来决定.为 了更清楚阐明此一事实,我们利用因数分解的对偶性将 ( )

2 1 + n n 所有正因数 定位 . 得到两个结论: 结论一(证明见附录一) 第

一、若a点在 A 区,b 点必落在 C 区. 第

二、若a点在 B 区,b 点必落在 B 区. 第

三、若a点等於

2 n ,则b点必等於(n+1) (n 为偶数,如图一) 第

四、a 点等於

2 1 + n ,则b点必等於 n(n 为奇数,如图二) A 区围[1,

2 n ) ,B 区围(

2 n ,n+1) ,C 区围(n+1,

2 )

1 ( + n n ] A 区围[1,

2 1 + n ),B 区围(

2 1 + n ,n) ,C 区围( n,

2 )

1 ( + n n ] 由上述的数线图与「端点守门员」所形成的「门槛」 ,我们可以得到「4=3」切割法的四 点论证: 结论二(证明见附录二) 第

一、

3 ≥ n 时,所有的三角形数皆可移动重排成平行四边形. 第

二、若()21+nn的因数完全被 「挡在」 B 区之外 (门槛守得很好) ,则以宽和长落在两 「门槛」的因数分解形式,所移成的平行四边形,移动个数最少. 第

三、若()21+nn有因数进入 B 区(门槛守得不好) ,则在 B 区中的因数分解形式,一定 比落在门槛上的因数分解形式要好(也就是移动个数较少) .

2 n (n+1) A C B

2 )

1 ( + n n

1 2

1 + n n A C B

1 2 )

1 ( + n n (图一) (图二)

7 第

四、 ( )

2 1 + n n 进入 B 区的因数不只一组,则以「对偶因数」中,差距最小的那一组移 动最少.利用实际图形说明上面的移动方法: ( )

2 1 + n n 有因数落在 B 区:其移动的方式,不管 n 为偶数还是奇数,皆是切掉上面及右 下角两个三角形后,往「右侧中间」移动.移动总个数为[1+2+3+…..+(n-a)]+[1+2+3+…+ (n -b)] = ∑ ∑ ? = ? = + b n j a n i j i

1 1 =

2 ) ( ) (

2 a n a n ? + ? +

2 ) ( ) (

2 b n b n ? + ? (如图三,以n=8 举例) . (图三) B 区没有 ( )

2 1 + n n 的因数:移动的方式是切掉顶端的一个三角形,整个往右下角补齐 n 为偶数:所形成之长方形的宽为 a=