PDF《科别：数学科》

2 n 、长为 b=n+1,移动总个数为: ∑ =

2 1 n i i =1+2+3+….+

2 n =

8 )

2 ( + n n . (图四,以n=10 举例) . (图四) n 为奇数:所形成之长方形的宽为 a=

2 1 + n 、长为 b=n,移动总个数为 ∑ ? =

2 1

1 n i i =1+2+3+…+

2 1 ? n =

8 1

2 ? n . (如图五,以n=9 举例) .

8 (图五) 在实做过程中,我们产生了两个疑问: 第一个:在「4=3」切割法中,切掉两块小三角形后,向「右侧中间」移动,而排成平行 四边形的三角形总个数,应该比只能切掉一块小三角形这一类的总数少吧?(会 提出这个猜想是因为在 n=1~100 中,只有

28 个n值是可切成两个三角形.) (数值资料见附录三) 第二个:在「4=3」切割法中, 「三角形数=菱形数」个数,应该不会太多?(在1=n~100 中才找到

8 与49 两个) . 针对猜想一,我们目前无法证明出谁多谁少,故求助於电脑的计算帮我们做判断,从数 姓肀砀窦巴枷允救缦: (表三) n 的围 需切成两块三角形者之个数 所占比例(%) 1~100

28 28 1~200

62 31 1~500

177 35.4 1~1,000

385 38.5 1~2,000

831 41.55 1~5,000

2218 44.36 1~10,000

4622 46.22 1~20,000

9528 47.645

25 30

35 40

45 50

1 ~

1 0

0 1 ~

2 0

0 1 ~

5 0

0 1 ~

1 ,

0 0

0 1 ~

2 ,

0 0

0 1 ~

5 ,

0 0

0 1 ~

1 0 ,

0 0

0 1 ~

2 0 ,

0 0

0 比例(%) 图六n值围及比例的关系图9因为电脑一直当机,所以罗!我们只列出 20,000 以内需切掉两块小三角形重排成平 行四边形的个数.不过我们仍然发现了:围较小时,果然是切掉一块的赢,但随著所 取n的围越大,切掉两块三角形的比例就慢慢追上了.研判电脑所获得的资讯,我们 的第一个猜想被电脑呈现的数吒擦.虽然上面的统计图并未呈现切掉两块三角形 的总个数超过 50%,但可看出所占的比例是呈上升趋势.针对这种增加的趋势,我们提 出这样的解释: 「随著 n 越大,两门槛之间的距离就越大,在这麽一大段的距离当中 ( )

2 1 + n n 的因数落入 B 区的机会也随之增加」 . 配合电脑所提供的资料与我们的解释,重新修正了猜想一的想法了: 修正猜想一: 在「4=3」切割法中,切掉两块小三角形,向「右侧中间」移动排成平 行四边形的三角形总数 ,应该比切掉一块三角形而排成平行四边形的总 数多!如果不会比较多,两者之间的比值应趋近於 1. 当然这一个猜想也未证出,那到底对不对?需配备更好的电脑或找到良好的证明方向才 得知了. 猜想二: 「三角形数等於菱形数」的个数应该不多? 根缒运峁┑氖弥: 「切两块三角形拼成平行四边形的个数」实在太多了,不 好掌控,因此我们把焦点集中「三角形数等於菱形数」在的问题上,也就是 探讨: 『 ( )

2 1 + n n =完全平方数』的问题.

二、利用「4=3」切割法,求解「 ( ) = +

2 1 n n 完全平方数」的问题 我们利用「4=3」的四个切割结论,来解『 ( )

2 1 + n n =完全平方数』的问题.原理如下: (n 为偶数的端点) (n 为奇数的端点)

2 1 + n

2 n (n+1) n

10 第一:采用第五页的结论,n 为偶数时我们令左端点=

2 n ,右端点=

1 + n ;

n 为奇 数时我们令左端点=

2 1 + n ,右端点=n . 第二:做因数分解: ( )

2 1 + n n =a*b,a=左门槛、b=右门槛(a时, ε <

<

k k n n x y x y .所以不管距离取的多小,皆存在无穷多个 n n x y 逼近

2 . 图示如下: 距离=ε