PDF《科别：数学科》

2 5

3 1 ? * k 再透过方程式

1 2

2 2 + = y x 所得到逼进

2 的数列,取分子成一新的数列: { } k y ={

1、

7、

41、239……},它为二阶递回数列,计算{ } k y 的通解表现式: y k =

2 2

1 [(2+

2 ) ( )

1 1

2 2

3 )

2 2 ( )

2 2

3 ( ? ? ? ? ? + k k ],k=1,2,3…. 同样,我们可推得 k k x y ?

2 <

2 5

4 1 ? * k ,k=

1、

2、3….由此误差估计的形式可以得 到下列结论由此误差估计的形式可以看出: 结论八 第一:在2的左侧取任一小段距离ε ,我们一定可以找到足够大的 k,使得

2 5

4 1 ? * k 时, ε <

<

n n k k x y x y .故不管距离取的多小,皆存在无穷多个 n n x y 逼近

2 (图八) n n x y k k x y

2 ε +

2 16 图示如下: 距离=ε 透过上面的误差估计,我们很清楚的知道,

2 这一个数值的「附近」 ,有无穷多个有 理数靠近它,而且这些有理数最后几乎是「挤成一团」 .所以

2 不会孤单,它的身旁 永远有无穷多个朋友陪伴它.

五、 「4=3」切割法计算

2 」与「连分数展开计算

2 」 ,所得数列的关系. 由探讨「4=3」图形数的转换,我们发展出计算

2 近似值的方法,但针对无理数 逼近的问题,一般常使用的方法为「连分数展开」 .我们想了解一下,用我们的方法来 逼近

2 ,有没有比「连分数展开」法「快」呢?

(一)比较连分数展开法与「4=3」切割法所得数列

2 表为连分数:

2 = ...

2 1

2 1

2 1

1 + + + + ,记为[1,2,2,2,2……….] 即第一项=

1 1 , 第二项[1,2]=

2 1 1+ =

2 3 , 第三项[1,2,2]=1+

2 1

2 1 + =

5 7 , 第四项:[1,2,2,2]=

12 17 , (图九) n n x y k k x y

2 ε ?

2 2

5 4

1 ? * k <

17 第五项:[1,2,2,2,2]=

29 41 , ……依此类推,可得到连分数展开的渐进分数数列. 利用前面我们所得之

2 的两个渐近分数数列,与2用连分数展开所得的渐进 分数做比较,令人惊的是,我们用「4=3」切割法所得的两个数列,恰好构成用连 分数展开所得的渐进分数.即: 结论九 第一:利用方程式

2 2 x +1=

2 y ,得到之整数解比值 x y ,恰为

2 利用连分数展开之 2,4, 6,8,10…项. (n 为偶数时) 第二:利用方程式

2 2 x =

2 y +1,得之整数解比值 x y ,恰为

2 利用连分数展开之 1,3, 5,7,9…项. (n 为奇数时) 将上述的关系以对照表呈现如下: 连分数数列:

1 1 、

2 3 、

5 7 、

12 17 、

29 41 、

70 99 、

169 239 、

408 577 、

985 1393 、

2378 3363 、

5741 8119 、

13860 19601 、

33461 47321 .. 偶数:

2 3 、

12 17 、

70 99 、

408 577 、

2378 3363 、

13860 19601 … 奇数:

1 1

5 7 、

29 41 、

169 239 、

985 1393 、

5741 8119 、

33461 47321 ..

(二)谁收敛的快: 因此回到开头我们所问的问题: 「哪一种方法逼近的比较快?」 ,由上面的对照表 我们可清楚的看出,我们的方法逼近到

2 的数度较快. (图示说明如图十) (图十) 蓝线:连分数展开法. 红线:2

2 x +1=

2 y ,整数解比值. 绿线:2

2 x =

2 y +1,整数解比值.

5 7

29 41

169 239

2 3

12 17

99 70

2 1

18

(三) 「为什麽这麽巧?」 结论九是一个有趣的现象,从对照表来看,我们不得不让我们佩服 数的奥妙 : 「由三个不同的计算式子,竟然有著类似『遗传性质:后代保有父母亲的特徵』 」 .这种『情节』和好像在寻找多年失散的亲人一样,会心一笑! 这是一个巧合吗?经过一段时间的思考,再和老师讨论,寻取有用的资料之后,我们 发现,这不是一个「巧合」 ,它是一个「必然」的结果.它是由 第