PDF《数学杂志》

Vol.

28 (

2018 ) No.

1 数学杂志J. of Math. (PRC) 半狄氏型下的 Kato 类光滑测度 马丽, 韩新方 (海南师范大学数学与统计学院, 海南 海口 571158) 摘要: 本文研究了半狄氏型框架下与 Kato 类光滑测度相关的问题. 利用分析的方法, 得到了 在热核估计下 Kato 类光滑测度的等价类, 并给出了 Kato 类光滑测度的相关性质, 推广了狄氏型框架 下Kato 类光滑测度的相关结果. 关键词: 半狄氏型;

马氏过程;

Kato 类光滑测度;

可加泛函 MR(2010) 主题分类号: 31C25;

60J45 中图分类号: O211.62 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2018)01-0124-07

1 引言 设E为可度量的 Lusin 空间, m 为Borelσ - 代数 B(E) 上正的 σ - 有限测度. (E, D(E)) 为L2 (E, m) 上的拟正则半狄氏型, M = (Xt, Px) 为(E, D(E)) 联系的 m - 胎紧特殊标准马氏过 程, 见文献 [1C4]. 对于一个 (E, B(E)) 上正的测度 ?, 如果满足 ?(N) = 0, 其中 N ∈ B(E) 为 零容集, 且存在由 E 的紧子集组成的 E - 网{Fk}∞ k=1, 使得对于所有的 k ∈ N, 有?(Fk) <

∞, 则称 ? 为关于 (E, D(E)) 的光滑测度, 记?∈S. 令(At)t≥0 为M的一个正的连续可加泛函 (记为 Ac,+ ), 则存在唯一的 ? ∈ S 满足: 对于 D(E) 中任意 α - 共轭过分函数 g (这里 α >

0), 任意的 f ∈ B+ (E) 有lim t→0

1 t Eg・m[ t

0 f(Xs)dAs] = E fgd?, (1.1) 称?为(At)t≥0 的Revuz 测度, 记作 ?A. 反之, 若?∈S, 则必存在一个 A ∈ Ac,+ , 使得 (1.1) 式成立, 称S与Ac,+ 之间的这种对应关系为 Revuz 对应 (见文 [5, 定理 5.8]). (E, B(E)) 上 一个正的测度 ? 称为有限能量积分测度 (记为 S0), 如果 ? 在零容集上为 0, 且存在正的常数 C, 使得对任意 f ∈ D(E) 有E|f(x)|?(dx) ≤ CE

1 2

1 (f, f), 这里 Eα(f, g) = E(f, g) + α E f(x)g(x)m(dx). 在对称狄氏型框架下, 文[6] 研究了对称狄氏型的 Kato 类光滑测度扰动;

文[7] 考虑了 一类 Kato 类光滑测度的可加泛函及其大偏差问题;

文[8] 给出了一类 Revuz 测度是 Kato 类?收稿日期: 2016-07-08 接收日期: 2016-09-05 基金项目: 国家自然科学基金资助 (11201102;

11326169;

11361021);

海南省自然科学基金资助 (113007;

112002). 作者简介: 马丽 (1979C), 女, 河南南阳, 副教授, 主要研究方向: 狄氏型与随机分析. 通讯作者: 韩新方. No.

1 马丽等: 半狄氏型下的 Kato 类光滑测度

125 光滑测度的连续可加泛函, 并研究了由此类可加泛函诱导的 Feynman-Kac 半群谱界的 Lp - 独立性;

文[9] 借助于 Kato 类光滑测度, 研究了对称狄氏型的一般扰动;

在非对称狄氏型框 架下, 文[10] 给出了 Kato 类光滑测度的定义, 并研究了 Kato 类光滑测度对狄氏型的扰动;

文[11] 研究了符号光滑测度对广义狄氏型的扰动;

文[12] 研究了符号光滑测度对半狄氏型的 扰动;

文[1] 借助于 Kato 类光滑测度用局部化的方法给出了广义 Feynman-kac 半群强连续 的两个充分条件. 本文给出半狄氏型框架下 Kato 类光滑测度的定义及关于 Green 核的 Kato 类光滑测度 定义, 在

第二节中证明了它们的等价性;

在

第三节中研究 Kato 类光滑测度的一些基本性质. 本文的结果将有助于研究半狄氏型扰动、 保正型的 h - 变换、 广义 Feynman-Kac 半群强连续 性、 大偏差、 半群谱界的 Lp - 独立性等.

2 Kato 类光滑测度的定义 定义 2.1 (关于 M 的Kato 类光滑测度) 如果一个光滑测度 ? 满足 lim t→0 ||E・(A? t )||q = 0, 其中 ||f||q = inf Cap(N)=0 sup x∈E?N |f(x)|, f(x) ∈ B(E), A? t ∈ Ac,+ , 则称 ? 属于 Kato 类光滑测度, 记?∈Sk. 定义 2.2 (关于 Green 核的 Kato 类Kν,β, 见文 [13]) 令ν>