PDF《数学杂志》

0, 存在 Aδ >

0, 使得对任意 f ∈ D(E) 有E?f2 d? ≤ δE(f, f) + Aδ f

2 2, (3.2) 其中 f 为f的拟连续版本 (见文 [15, 命题 3.6]). 证 由正则半狄氏型与拟正则半狄氏型的拟同胚 (见文 [3]), 不失一般性, 可以假定 (E, D(E)) 为L2 (E;

m) 上的正则半狄氏型. 首先设 ? ∈ S0 ∩ Sk, 将证明对任意 α ≥ 0, f ∈ D(E), 如下式子成立 E ? f2 d? ≤ 16(K + 1)2 ||Uα?||∞Eα(f, f). (3.3)

128 数学杂志Vol.

38 设t>

0, Kt = {x ∈ E | | ? f(x)| ≥ t}, LKt := {v ∈ D(E) | 在Kt上? v ≥

1 E ? q.e.}. 由文 [15, 注2.2 (iii)] 知|f| ∈ D(E) 且LKt = ?. 设?eKt 为α-共轭位势, eKt 为α-位势, ? eKt 为对称 α - 位势, 则Eα(? eKt , ? eKt ) ≤ (K + 1)E

1 2 α (? eKt , ? eKt )E

1 2 α (? eKt , ? eKt ) = (K + 1) ? E

1 2 α (? eKt , ? eKt )E

1 2 α (? eKt , ? eKt ) ≤ (K + 1) ? E

1 2 α (? eKt , ? eKt )E

1 2 α (? eKt , ? eKt ), 其中 K 为常数, 所以 Eα(? eKt , ? eKt ) ≤ (K + 1)2 ? Eα(? eKt , ? eKt ). 由文 [16, 引理 1.2] 可知 u 为α-位势当且仅当 u 为α-过分函数, 所以类似于文 [17, 命题 1] 的证明, 可以得到 ∞

0 tEα(? eKt , ? eKt )dt ≤

2 ? Eα(|f|, |f|), 对α>

1, 由文 [15, (2.1)] 可得 ∞

0 tEα(? eKt , ? eKt )dt ≤ 2(K + 1)2 ? Eα(|f|, |f|) ≤ 8(K + 1)2 Eα(f, f). 定义 ? E(u, v) := E(v, u), 则易得 ( ? E, D(E)) 为正则保正型且 ? eKt 关于 ( ? E, D(E)) 为α-位势. 所以存在一个光滑测度 ν, 使得 ? eKt = ? Uαν. 又因为 supp[ν] ? Kt, 所以 E f(x)2 ?(dx) =

2 ∞

0 t E IKt ?(dx)dt ≤

2 ∞

0 t E ? eKt ?(dx)dt =

2 ∞

0 tEα(Uα?, ? eKt )dt =

2 ∞

0 t E (Uα?)(x)ν(dx)dt ≤ 2||Uα?||∞ ∞

0 t E ? eKt ν(dx)dt = 2||Uα?||∞ ∞

0 tEα(? eKt , ? eKt )dt ≤ 16(K + 1)2 ||Uα?||∞Eα(f, f). 对?∈Sk, 由文 [5, 定理 5.4] 知存在 E - 网{Fn}n≥1, 使得 ?n := IFn ? ∈ S0. 设A为?对应 的正的连续可加泛函, 则An t := t

0 IFn (Xs)dAn s 为?n 对应的正的连续可加泛函. 由文 [5, 定理5.8] 知Uα?n 为Uα An

1 的一个拟连版本, 因此对任意的 n, ||Uα?n||∞ = ||Uα An 1||∞ ≤ ||Uα A1||∞. 所以对任意 f ∈ D(E) 有?f2 d? = lim n→∞ ? f2 d?n ≤ lim n→∞ 16(K + 1)2 ||Uα?n||∞Eα(f, f) ≤ 16(K + 1)2 ||Uα A1||∞Eα(f, f). (3.4) 类似于文 [6, 定理 4.1] 得对 ? ∈ SK 有lim α→∞ ||Uα A1||∞ = 0, 所以由 (3.4) 式知 (3.2) 式成立. No.

1 马丽等: 半狄氏型下的 Kato 类光滑测度

129 注 因为对称狄氏型与保正型之间有很多不同, 所以在证明过程中对文 [17, 命题 2] 做了 适当的改进. 对于半狄氏型, 文[18, 命题 4.2] 在?满足 ?U ≤ C0m(其中 C0 >

0 为常数) 的 条件下, 用不同的方法得到了式 (3.3). 对于非对称狄氏型, 文[19, 命题 4.3] 利用对偶过程的 Green 函数得到了式 (3.2). 但由于半狄氏型的对偶过程不一定存在, 所以文 [19] 的方法对半 狄氏型行不通, 接下来将尝试利用文 [20] 中h-变换的方法考虑与此相关的问题. 参考文献[1] Ma Z M, Rockner M. Introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms[M]. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. [2] Fukushima M, Oshima Y, Takeda M. Dirichlet forms and symmetric Markov processes[M]. German, Berlin: Walter de Gruyter, ?rst edition, 1994;

second revised and extended edition, 2011. [3] Oshima Y. Semi-Dirichlet forms and Markov process[M]. German, Berlin: De Gruyter, 2013. [4] Ma L, Sun W. On the generalized Feynman-kac transformation for nearly symmetric Markov pro- cesses[J]. J. The. Prob., 2012, 25(3): 733C755. [5] Ma L, Ma Z M, Sun W. Fukushima'