PDF《数学杂志》

0, β >

0, E 上的一个光滑测 度?, 如果满足 ? ? ? ? ? ? ? lim r→0 sup x∈E d(x,y) β;

sup x∈E d(x,y) 0. (A2.3) (热核的上下界估计) 令φi(i = 1, 2) 为(0, ∞) 上与 t0 <

∞ 相关的单调递减函数, 且满足如下条件 ∞

1 (V (t) ∨ tν )φ2(t) t dt <

∞,

1 tν/β φ1( d(x, y) t1/β ) ≤ pt(x, y) ≤

1 tν/β φ2( d(x, y) t1/β ).

126 数学杂志Vol.

38 定理 2.3 若(A2.1)C(A2.3) 成立, 则Sk = Kν,β , 即定义 2.1 与定义 2.2 等价. 证 当对称狄氏型联系的马氏过程有转移密度函数时, 文[13] 在条件 (A2.1)C(A2.3) 下证 明了定义 2.1 与定义 2.2 等价. 因为光滑测度是正的 Borel 测度, 故类似于文 [13, 引理 4.4] 的证明, 利用证明过程与半群的对称性或对偶无关, 可得到 Sk ? Kν,β. 当?∈Kν,β 时, 得?∈S. 由Revuz 对应知道存在 A? t ∈ Ac,+ 使得 Ex(A? t ) = E t

0 ps(x, y)ds?(dy) 成立, 对文 [13, 定理 3.2] 的证明过程稍作修改, 可以得到 Kν,β ? Sk. 由双边包含关系, 故定 理得证. 注 对于非对称狄氏型, 文[10] 给出了 Kato 类光滑测度的定义: 一个光滑测度 ? ∈ S, 如 果满足 lim t→0 (||E・(A? t )||q ∨ ||E・(A? t )||q) = 0, 则称 ? 属于 Kato 类光滑测度, 记作 ? ∈ Sk, 其中 A? t 为对偶过程 M 的可加泛函, 其对应 的Revuz 测度也为 ?. 由定理 2.3 知道, 当过程 M 及其对偶过程 M 都有转移核且都满足 (A2.1)C(A2.3) 时, lim t→0 ||E・(A? t )||q =

0 ? lim t→0 ||E・(A? t )||q = 0, 即文 [10] 中Kato 类光滑测度的定义可以简化.

3 Kato 类光滑测度的性质 性质 3.1 设?∈S, 则存在一个由紧集组成的 E - 网{Fn}, 使得对每一个 n, 有IFn ? ∈ Sk. 证 首先证明当 ? ∈ S0 时, 结论成立. 设(Pt)t>

0 为过程 M 的转移半群, 即对任意 f ∈ L2 (E;

m), f ≥ 0, 有Ptf(x) = Ex[f(Xt)], Uα? 为有限能量积分测度 ? 的α-位势 (见文 [5, 注5.2]), 且U1 A1(x) = Ex[ ∞

0 e?s dA? s ], 则Ut1(x) := Ex[ t

0 e?s dA? s ] = U1 A1(x) ? e?t PtU1 A1(x). 由文 [5, 定理 5.8] 知U1 A1(x) 是U1? ∈ D(E) 的拟连版本, 且由文 [14] 知当 t →

0 时, E

1 2

1 (U1? ? PtU1?, U1? ? PtU1?) → 0, 所以 E

1 2

1 (U1? ? e?t PtU1?, U1? ? e?t PtU1?) = E

1 2

1 (U1? ? e?t U1? + e?t U1? ? e?t PtU1?, U1? ? e?t U1? + e?t U1? ? e?t PtU1?) ≤ |1 ? e?t |E

1 2

1 (U1?, U1?) + e?t E

1 2

1 (U1? ? PtU1?, U1? ? PtU1?) → 0. No.

1 马丽等: 半狄氏型下的 Kato 类光滑测度

127 因此由文 [15, 命题 2.18(i)] 知, 存在子列 {Utk } 及一个由闭子集 {Fn} 组成的 E - 网, 使得在 每一个 Fn 上一致地有 lim k→∞ Utk 1(x) = 0, 即对任意的 k 有lim t↓0 sup x∈E |Utk 1(x)| = 0. (3.1) 下面证明 IFn ? ∈ Sk. 设τn = inf{t >

0 : Xt ∈ Fn}, 则||E・[ t

0 e?s IFn (Xs)dA? s ]||q = ||E・[I{t>

τn} t τn e?s IFn (Xs)dA? s ]||q = ||E・{I{t>

τn}e?τn Ex[ t τn e?(s?τn) IFn (Xs)dA? s |Fτn ]}||q = ||E・{I{t>

τn}e?τn EXτn [ t τn e?(s?τn) IFn (Xs?τn )dA? s?τn ]}||q = ||E・{I{t>

τn}e?τn EXτn [ t?tτn

0 e?s IFn (Xs)dA? s ]}||q ≤ sup x∈Fn |Ex[ t

0 e?s IFn (Xs)dA? s ]| ≤ sup x∈Fn |Ex[ t

0 e?s dA? s ]| ≤ sup x∈Fn |Ut1(x)|, 由(3.1) 式知道 lim t↓0 ||E・[ t

0 e?s IFn (Xs)dA? s ]||q = 0, 从而 IFn ? ∈ Sk. 然后证明当 ? ∈ S 成立时, 结论成立. 由文 [5, 定理 5.4] 的证明知, 存在由紧集组成的 E - 网{En}, 使得 IEj ? ∈ S0, 故由上面的 证明得: 存在一个由闭子集组成的 E - 网{Fn,j}, 使得 IFn,j IEj ? ∈ Sk. 取Gn = n j=1 (Fn,j ∩Ej), 则{Gn} 为由紧集组成的 E - 网, 且IGn ? ∈ Sk. 故结论得证. 性质 3.2 设?∈Sk, 则对任意 δ >