PDF《2018 年广东省中考真题数学》

AD,把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠,使点 B 落在点 E 处, AE 交CD 于点 F,连接 DE. (1)求证:ADE≌CED;

(2)求证:DEF 是等腰三角形. 解析:(1)根据矩形的性质可得出 AD=BC、AB=CD,结合折叠的性质可得出 AD=CE、AE=CD,进 而即可证出ADE≌CED(SSS);

(2)根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF,利用等边对等角可得出 EF=DF,由此即可证 出DEF 是等腰三角形. 答案:(1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC,AB=CD. 由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE, ∴AD=CE,AE=CD. 在ADE 和CED 中, , ∴ADE≌CED(SSS). (2)由(1)得ADE≌CED, ∴∠DEA=∠EDC,即∠DEF=∠EDF, ∴EF=DF, ∴DEF 是等腰三角形. 23.如图,已知顶点为 C(0,-3)的抛物线 y=ax

2 +b(a≠0)与x轴交于 A,B 两点,直线 y=x+m 过顶点 C 和点 B. (1)求m的值;

(2)求函数 y=ax

2 +b(a≠0)的解析式;

(3)抛物线上是否存在点 M,使得∠MCB=15°?若存在,求出点 M 的坐标;

若不存在,请说 明理由. 解析:(1)把C(0,-3)代入直线 y=x+m 中解答即可;

(2)把y=0 代入直线解析式得出点 B 的坐标,再利用待定系数法确定函数关系式即可;

(3)分M在BC 上方和下方两种情况进行解答即可. 答案:(1)将(0,-3)代入 y=x+m, 可得:m=-3;

(2)将y=0 代入 y=x-3 得:x=3, 所以点 B 的坐标为(3,0), 将(0,-3)、(3,0)代入 y=ax

2 +b 中, 可得: , 解得: , 所以二次函数的解析式为:y= x

2 -3;

(3)存在,分以下两种情况: ①若M在B上方,设MC 交x轴于点 D,则∠ODC=45°+15°=60°, ∴OD=OC・tan30°= , 设DC 为y=kx-3,代入(3,0),可得:k= , 联立两个方程可得: , 解得: , , 所以 M1( ,6);

②若M在B下方,设MC 交x轴于点 E,则∠OEC=45°-15°=30°, ∴OE=OC・tan60°= , 设EC 为y=kx-3,代入( ,0)可得:k= , 联立两个方程可得: , 解得: , , 所以 M2( ,-2), 综上所述 M 的坐标为( ,6)或( ,-2). 24.如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD,以AB 为直径的⊙O 经过点 C,连接 AC,OD 交于点 E. (1)证明:OD∥BC;

(2)若tan∠ABC=2,证明:DA 与⊙O 相切;

(3)在(2)条件下,连接 BD 交于⊙O 于点 F,连接 EF,若BC=1,求EF 的长. 解析:(1)连接 OC,证OAD≌OCD 得∠ADO=∠CDO,由AD=CD 知DE⊥AC,再由 AB 为直径 知BC⊥AC,从而得 OD∥BC;

(2)根据 tan∠ABC=2 可设 BC=a、则AC=2a、AD=AB= ,证OE 为中位线知 OE= a、AE=CE= AC=a,进一步求得 DE= =2a,再AOD 中利用勾股定理逆定 理证∠OAD=90°即可得;

(3)先证AFD∽BAD 得DF・BD=AD

2 ①,再证AED∽OAD 得OD・DE=AD

2 ②,由①②得DF・BD=OD・DE,即 ,结合∠EDF=∠BDO 知EDF∽BDO,据此可得 , 结合(2)可得相关线段的长,代入计算可得. 答案:(1)连接 OC, 在OAD 和OCD 中, ∵ , ∴OAD≌OCD(SSS), ∴∠ADO=∠CDO, 又AD=CD, ∴DE⊥AC, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=90°,即BC⊥AC, ∴OD∥BC;

(2)∵tan∠ABC= =2, ∴设BC=a、则AC=2a, ∴AD=AB= , ∵OE∥BC,且AO=BO, ∴OE= BC= a,AE=CE= AC=a, 在AED 中,DE= =2a, 在AOD 中,AO

2 +AD

2 = ,OD

2 =(OF+DF)

2 =( a+2a)

2 = a

2 , ∴AO

2 +AD

2 =OD

2 , ∴∠OAD=90°, 则DA 与⊙O 相切;

(3)连接 AF, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AFD=∠BAD=90°, ∵∠ADF=∠BDA, ∴AFD∽BAD, ∴ ,即DF・BD=AD

2 ①, 又∵∠AED=∠OAD=90°,∠ADE=∠ODA, ∴AED∽OAD, ∴ ,即OD・DE=AD

2 ②, 由①②可得 DF・BD=OD・DE,即,又∵∠EDF=∠BDO, ∴EDF∽BDO, ∵BC=1, ∴AB=AD= 、OD= 、ED=

2、BD= 、OB= , ∴ ,即,解得:EF= . 25.已知 RtOAB, ∠OAB=90°, ∠ABO=30°, 斜边 OB=4, 将RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 60°, 如题图 1,连接 BC. (1)填空:∠OBC=_____;